法国数学家傅里叶发现，任何周期函数都可以用正弦函数和余弦函数构成的无穷级数来表示（选择正弦函数与余弦函数作为基函数是因为它们是正交的），后世称为傅里叶级数（法文：série de Fourier，或译为傅里叶级数）一种特殊的三角级数。

• 中文名 傅里叶级数
• 外文名 Fourier series
• 表达式 一种特殊的三角级数
• 提出者 法国数学家傅里叶
• 应用学科 数学

词条释义

来源

　　Fourier series

傅里叶级数

　　一种特殊的三角级数。法国数学家J.-B.-J.傅里叶在研究偏微分方程的边值问题时提出。从而极大地推动了偏微分方程理论的发展。在中国，程民德最早系统研究多元三角级数与多元傅里叶级数。他首先证明多元三角级数球形和的唯一性定理，并揭示了多元傅里叶级数的里斯- 博赫纳球形平均的许多特性。傅里叶级数曾极大地推动了偏微分方程理论的发展。在数学物理以及工程中都具有重要的应用。

公式

　　给定一个周期为T的函数x(t)，那么它可以表示为无穷级数：

　　（j为虚数单位）（1）

　　其中，a_k可以按下式计算：（2）　　注意到；是周期为T的函数，故k 取不同值时的周期信号具有谐波关系（即它们都具有一个共同周期T）。k=0时，（1）式中对应的这一项称为直流分量，k=pm 1时具有基波频率，称为一次谐波或基波，类似的有二次谐波，三次谐波等等。

性质介绍

收敛性

　　傅里叶级数的收敛性：满足狄利赫里条件的周期函数表示成的傅里叶级数都收敛。狄利赫里条件如下：

　　在任何周期内，x(t）须绝对可积；

　　傅里叶级数　　在任一有限区间中，x(t）只能取有限个最大值或最小值；

傅里叶级数

　　在任何有限区间上，x(t）只能有有限个第一类间断点。

　　吉布斯现象：在x(t）的不可导点上，如果我们只取（1）式右边的无穷级数中的有限项作和X(t），那么X(t）在这些点上会有起伏。一个简单的例子是方波信号。

正交性

　　所谓的两个不同向量正交是指它们的内积为0，这也就意味着这两个向量之间没有任何相关性，例如，在三维欧氏空间中，互相垂直的向量之间是正交的。事实上，正交是垂直在数学上的的一种抽象化和一般化。

　　傅里叶级数

　　一组n个互相正交的向量必然是线形无关的，所以必然可以张成一个n维空间，也就是说，空间中的任何一个向量可以用它们来线形表出。三角函数族的正交性用公式表示出来就是：

奇偶性

　　奇函数；可以表示为正弦级数，而偶函数；则可以表示成余弦级数：

　　只要注意到欧拉公式：，这些公式便可以很容易从上面傅里叶级数的公式中导出。

　　傅里叶级数

　　广义傅里

　　任何正交函数系<math>{ phi(x)}</math>；，如果定义在[a,b]上的函数f(x）只具有有限个第一类间断点，那么如果f(x）满足封闭性方程：

　　<math>int _{a}^{b}f^2(x),dx=sum _{k=1}^{infty}c^{2}_{k}</math> （4），

　　那么级数<math>sum _{k=1}^{infty} c_kphi _k(x)</math> （5） 必然收敛于f(x），其中：

　　<math>c_n=int _{a}^{b}f(x)phi_n(x),dx</math> （6）。

　　傅里叶级数

　　事实上，无论（5）时是否收敛，我们总有：

　　<math>int _{a}^{b}f^2(x),dx ge sum _{k=1}^{infty}c^{2}_{k}</math>；成立，这称作贝塞尔(Bessel）不等式。此外，式（6）是很容易由正交性推出的，因为对于任意的单位正交基<math>{e_i}^{N}_{i=1}</math>；，向量x在<math>e_i</math>；上的投影总为<math><x,e_i></math>；。