超几何分布是统计学上一种离散概率分布。它描述了由有限个物件中抽出n个物件，成功抽出指定种类的物件的次数(不归还)。

在产品质量的不放回抽检中，若N件产品中有M件次品，抽检n件时所得次品数X=k，则P(X=k)=C(M，k)·C(N-M,n-k)/C(N,n)， C(a b)为古典概型的组合形式，a为下限，b为上限，此时我们称随机变量X服从超几何分布(hypergeometric distribution)

(1)超几何分布的模型是不放回抽样

(2)超几何分布中的参数是M,N,n上述超几何分布记作X~H(N,n,M)。

• 中文名 超几何分布
• 外文名 Hypergeometric distribution
• 类别 数学名词
• 用于 统计学

英文名

引出

　　产品抽样检查中经常遇到一类实际问题，假定在N件产品中有M件不合格品，即不合格率p=M/N。在产品中随机抽n件做检查，发现k件不合格品的概率为P(X=k)=C(M,k)*C(N-M,n-k)/C(n,N),k=0,1,2,...,min{n,M}。通常称这个随机变量X服从超几何分布。这种抽样检查方法等于无放回抽样。数学上不难证明，N趋近无穷，limC(k,M)*C(n-k,N-M)/C(M,N)=B(n,p) (二项分布) 因此，在实际应用时，只要N>=10n，就可用二项分布近似描述不合格品个数。

　　也就是已经知道某个事件的发生概率，判断从中取出一个小样本，该事件以某一个机率出现的概率问题。

　　例子:假设细胞中有某种现象以90%的几率在发生着，被我们的三次实验抓到三次的几率是多大呢?不过可惜的是我们往往不能知道某个事件发生的先验的概率。不过至少可以拿来做假设检验。

应用

　　例:在一个口袋中装有30个球，其中有10个红球，其余为白球，这些球除颜色外完全相同.游戏者一次从中摸出5个球.摸到至少4个红球就中一等奖，那么获一等奖的概率是多少?

　　解:由题意可见此问题归结为超几何分布模型。

　　其中N = 30. M = 10. n = 5.

　　P(一等奖) = P(X=4 or 5) = P(X=4) + P(X=5)

　　由公式P(X=k)=C(k,M)*C(n-k,N-M)/C(n,N),k=0,1,2,...得:

　　P(X=4) = C(4,10)*C(1,20)/C(5,30)

　　P(X=5) = C(5,10)*C(0,20)/C(5,30)

　　P(一等奖) = 106/3393

期望

　　对X~H(N，M，n)，E(x)=nM/N

　　证明:引理一:∑{C(x,a)*C(d-x,b),x=0..min{a,d}}=C(d,a+b)，考察(1+x)^a*(1+x)^b中x^d的系数即得。(另:还可以由超几何分布1=∑P(X=K),k=0,1,2....n得)

　　引理二:k*C(k,n)=n*C(k-1,n-1)，易得。

　　正式证明:

　　EX=∑{k*C(k,M)*C(n-k,N-M)/C(n,N),k=0..min{M,n}}

　　=1/C(n,N)*∑{M*C(k-1,M-1)*C(n-k,N-M),k=1..min{M,n}}

　　//(提取公因式，同时用引理二变形，注意k的取值改变)

　　=M/C(n,N)*∑{C(k-1,M-1)*C(n-k,N-M),k=1..min{M,n}} (提取，整理出引理一的前提)

　　=M*C(n-1,N-1)/C(n,N) (利用引理一)

　　=Mn/N (化简即得)

方差

　　对X~H(N,M,n)，D(X)=nM(N-M)(N-n)/[(N^2)(N-1)]

　　证明:

　　DX=E(X^2)-(EX)^2 (此公式利用定义式简单展开即得)

　　=∑{k^2*C(k,M)*C(n-k,N-M)/C(n,N),k=0..min{M,n}}-(Mn/N)^2

　　=1/C(n,N)*∑{M*k*C(k-1,M-1)*C(n-k,N-M),k=1..min{M,n}}-(Mn/N)^2(提取，变形)

　　=M/C(n,N)*∑{(k-1)*C(k-1,M-1)*C(n-k,N-M)+C(k-1,M-1)*C(n-k,N-M),k=1..min{M,n}}-(Mn/N)^2

　　(拆项，变形)

　　=M/C(n,N)*∑{(M-1)*C(k-2,M-2)*C(n-k,N-M),k=2..min{M,n}}+M/C(n,N)*∑{C(k-1,M-1)*C(n-k,N-M),k=1..min{M,n}}-(Mn/N)^2 (拆开∑，就是分组求和)

　　=M(M-1)*C(n-2,N-2)/C(n,N)+Mn/N-(Mn/N)^2

　　=nM(N-M)(N-n)/[(N^2)(N-1)] (化简即得)

　　超几何分布期望与方差和二项分布的联系

　　视M/N=p

　　则EX=np

　　DX=np(1-p)*(N-n)/(N-1)

　　可以看出，均值的公式形式上与二项分布是一至的，而方差也只相差(N-n)/(N-1)。

　　这一点即有利于对这两个公式的记忆，又从另一个角度说明了:"因此，在实际应用时，只要N>=10n，可用二项分布近似描述不合格品个数。"

　　补充一个ASP的计算程序，估计明白计算机语言的大家都能看明白:已经去掉了大数阶乘溢出的问题。

函数

　　function HYPGEOMDIST(kkk,n,MM,NN) '超几何分布计算函数

　　for k=kkk to n

　　AA=1

　　BBA=1

　　BBB=1

　　lll=n

　　for i= 0 to k-1

　　BBA=BBA*(MM-i)/(NN-i)

　　next

　　for j= k to n

　　BBB=BBB*(NN-MM-j+k)/(NN-j)

　　next

　　BBs=BBB*BBA

　　if lll-k>k then

　　x=K

　　Else x=lll-k

　　end if

　　for i=1 to x

　　lll=lll-1

　　next

　　HYPGEOMDIST=HYPGEOMDIST+BBS

　　next

　　end function

　　response.write HYPGEOMDIST(200,2200,1000,17000)

　　%>

参考公式