尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图。一把没有刻度的直尺看似不能做什么，画一个圆又不知道它的半径，画线段又没有精确的长度。尺规作图是起源于古希腊的数学课题。只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题。

• 中文名 正五边形尺规作图
• 外文名 Pentagon Ruler
• 分类 作图方法
• 释义 指用没有刻度的直尺和圆规作图。

基本介绍

　　尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图。一把没有刻度的直尺看似不能做什么，画一个圆又不知道它的半径，画线段又没有精确的长度。其实尺规作图的用处很大，比如单用圆规找出一个圆的圆心，量度一个角的角度，等等。运用尺规作图可以画出与某个角相等的角，十分方便。

　　尺规作图是起源于古希腊的数学课题。只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题。

　　平面几何作图，限制只能用直尺、圆规。在历史上最先明确提出尺规限制的是伊诺皮迪斯。他发现以下作图法：在已知直线的已知点上作一角与已知角相等。这件事的重要性并不在于这个角的实际作出，而是在尺规的限制下从理论上去解决这个问题。在这以前，许多作图题是不限工具的。伊诺皮迪斯以后，尺规的限制逐渐成为一种公约,最后总结在《几何原本》之中。

　　若干著名的尺规作图已知是不可能的，而当中很多不可能证明是利用了由19世纪出现的伽罗华理论。尽管如此，仍有很多业余爱好者尝试这些不可能的题目，当中以化圆为方及三等分任意角最受注意。数学家Underwood Dudley曾把一些宣告解决了这些不可能问题的错误作法结集成书。

作法要求

　　它使用的直尺和圆规带有想像性质，跟现实中的并非完全相同：

　　直尺必须没有刻度，无限长，且只能使用直尺的固定一侧。只可以用它来将两个点连在一起，不可以在上画刻度。

　　圆规可以开至无限宽，但上面亦不能有刻度。它只可以拉开成你之前构造过的长度。

五种基本作图

　　作一个角等于已知角

　　平分已知角

　　作已知线段的垂直平分线

　　作一条线段等于已知线段

　　过一点作已知直线的垂线

尺规作图公法

　　以下是尺规作图中可用的基本方法，也称为作图公法，任何尺规作图的步骤均可分解为以下五种方法：

　　通过两个已知点可作一直线。

　　已知圆心和半径可作一个圆。

　　若两已知直线相交，可求其交点。

　　若已知直线和一已知圆相交，可求其交点。

　　若两已知圆相交，可求其交点。

尺规作图的著名问题

　　尺规作图不能问题就是不可能用尺规作图完成的作图问题。其中最著名的是被称为几何三大问题的古典难题：

　　三等分角问题：三等分一个任意角；

　　倍立方问题：作一个立方体，使它的体积是已知立方体的体积的两倍；

　　化圆为方问题：作一个正方形，使它的面积等于已知圆的面积。

　　以上三个问题在2400年前的古希腊已提出这些问题，但在欧几里得几何学的限制下，以上三个问题都不可能解决的。直至1837年，法国数学家万芝尔才首先证明“三等分角”和“倍立方”为尺规作图不能问题。而后在1882年德国数学家林德曼证明π是超越数后，“化圆为方”也被证明为尺规作图不能问题。

　　还有另外两个著名问题：

哪些正多边形可用尺规作图作出

　　德国数学家高斯，在他仅20岁左右，大学二年级时得出正十七边形的尺规作图法，并给出了可用尺规作图的正多边形的条件：尺规作图正多边形的边数目必须是2的非负整数次方和不同的费马素数的积，即n=2k（2的k次幂）或 2k×p1×p2×…×ps，（1，2…s为右下角标）其中，p1，p2，…，ps是费马素数．解决了两千年来悬而未决的难题。根据高斯的理论，还有一位德国格丁根大学教授作了正257边形．

　　费马素数：17世纪的费马，他研究了形如Fi （i为右下角标）=22i（底数2指数2的i次幂）+1 的数．

　　费马的一个著名猜想是，当 n≥3时，不定方程xn+yn=zn没有正整数解．现在他又猜测Fi都是素数，对于i=0，1，2，3，4时，容易算出来相应的Fi：

　　F0=3，F1=5，F2=17，

　　F3=257，F4=65 537

　　验证一下，这五个数的确是素数．F5=225+1是否素数呢？仅这么一个问题就差不多一百年之后才有了一个结论，伟大的欧拉发现它竟不是素数，因而，伟大的费马这回可是猜错了！F5是两素数之积：

　　F5=641×6 700 417．

　　当然，这一事例多少也说明：判断一个较大的数是否素数也决不是件简单的事，不然，何以需要等近百年？何以需要欧拉这样的人来解决问题？

　　更奇怪的是，不仅F5不是素数，F6，F7也不是素数，F8，F9，F10，F11等还不是素数，甚至，对于F14也能判断它不是素数，但是它的任何真因数还不知道．至今，人们还只知F0，F1，F2，F3，F4这样5个数是素数．由于除此而外还未发现其他素数，于是人们产生了一个与费马的猜想大相径庭的猜想，形如22i+1的素数只有有限个，但对此也未能加以证明。

　　当然，形如Fi=22i+1的素数被称为费马素数。由于素数分解的艰难，不仅对形如Fi=22i+1的数的一般结论很难做出，而且具体分解某个Fi也不是一件简单的事。

准确画法

第一种

　　1.作线段AB

　　2.作线段AB的垂直平分线HI垂足为H(基本作图)

　　3.以线段AB为一边,作正方形(不会作,看下面小步骤)

　　(1)以点A为圆心,适当长为半径,画弧,交直线AB(看清楚,是直线)于点C、D。

　　（2）分别以点C、D为圆心，大于二分之一CD长为半径，画弧，两弧交于点E。

　　（3）过点E作直线AE，并以点A为端点在直线AE上截取线段AF=AB。

　　（4）以点F、B为圆心，线段AB长为半径，画弧，两弧交于点G。　　（5）连结线段FG、BG。则四边形ABGF为正方形。

正五边形尺规作图

　　4.继续。以点H为圆心，线段HG长为半径，画弧，交射线HC于点J。

　　5.分别以点A、J为圆心，线段AB长为半径画弧，两弧交于点K，连结AK BK。

　　6.作线段HJ的垂直平分线L。

　　7.以点J为圆心，线段AK长为半径，画弧，交直线L于点M

　　8.再分别以点A。M为圆心，线段AK长为半径，画弧，两弧交于点N　　连结JM、MN、AN

第二种

　　1、作线段OA。(注：字母均从左向右、从上到下编）

　　2、以O为圆心，OA长为半径作圆，延长OA交圆与B。

　　3、分别以A，B为圆心，AB长为半径作弧，上下分别交于C，D。　　4、过O连接CD，交圆于E，F。

　　5、以A为圆心，AE长为半径作弧，交AB于G。

　　6、以E为圆心，EG长为半径作弧，交圆于H，I，交OA于J。

　　7、连接I，G并延长它，交圆于K；连接J，H并延长它，交圆于L。

　　8、分别连接EI，IL，LK，KH，HE。

　　9、五边形EILKH即为所求

近似画法

　　1、作直线OA。

　　2、作直线OB⊥OA。

　　3、以A为圆心，AO长为半径作圆，交⊙O于点C、点D。

　　4、连接CD，交直线OA于点E。

　　5、以E为圆心，EB长为半径作圆，交直线AO于点F。

　　6、以B为圆心，BF长为半径作圆，交⊙O于点G、点H。

　　7、以G为圆心，GB长为半径作圆，交⊙O于点I。

　　8、以H为圆心，HB长为半径作圆，交⊙O于点J。

　　9、分别连接BH，HJ，JD，DG，GB。

　　10、五边形BHJDG即为所求作正五边形。

圆内切正五边形画法

　　圆内接正五边形的画法如下:

　　①以O为圆心,定长R为半径画圆,并作互相垂直的直径MN和 AP.

　　② 平分半径ON,得OK=KN.

　　③以 K为圆心,KA为半径画弧与 OM交于 H, AH即为正五边形的边长.

　　④以AH为弦长,在圆周上截得A,B,C,D,E各点,顺次连接这些点即得正五边形.

民间口诀画正五边形

　　口诀:"九五顶五九,八五两边分."

　　画法:

　　1.画线段AB=20mm,

　　2.作线段AB的垂直平分线,垂足为G.

　　3.在l上连续截取GH,HD,使 GH=5.9/5*10mm=19mm,

　　HD=5.9/5*10mm=11.8mm

　　4.过H作EC⊥CG,在EC上截取HC=HE=8/5*10mm=16mm,

　　5.连结DE,EA,EC,BC,CD,

　　五边形ABCDE就是边长为20mm的近似正五边形.