垂径定理是数学平面几何(圆)中的一个定理，它的通俗的表达是:垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧。数学表达为:如概述图，直径AB垂直于弦CD，则CE等于ED，弧CB等于弧BD(包括优弧与劣弧)，半圆ACB等于半圆ADB。

• 中文名称 垂径定理
• 外文名称 Vertical theorem
• 别名 垂定
• 表达式 无
• 提出者 欧几里得(Ευκλειδης)

定理定义

　　垂直于弦(非直径)的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。

　　一条直线，在下列5条中只要具备其中任意两条作为条件,就可以推出其他三条结论。称为知二得三(知二推三)。

1. 平分弦所对的优弧
2. 平分弦所对的劣弧(前两条合起来就是:平分弦所对的两条弧)
3. 平分弦
4. 垂直于弦
5. 过圆心(或是直径)

数学证明

　　如图1 ，在⊙O中，AB为直径， CD是弦，AB⊥DC于点E，AB、CD交于E，求证:CE=DE，弧BC=弧BD，弧AC= 弧AD

　　证明:连接OC、OD

　　∵OC、OD是⊙O的半径

　　∴OC=OD

　　∴△OCD是等腰三角形

　　∵AB⊥DC

　　∴CE=DE，∠COE=∠DOE(等腰三角形三线合一)

　　∴弧BC=弧BD，∠AOC=∠AOD

　　∴弧AC=弧AD

推导定理

　　推论一:平分弦(非直径)的直径垂直于这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧。

　　几何语言:∵AB是直径，CE=ED

　　∴直径AB垂直于弦CD，劣弧BC=劣弧BD，弧AC=弧AD

　　推论二:平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦,并且平分这条弦所对的另一条弧。

　　几何语言:∵CE=DE，弧BC=弧BD,AB是直径

　　∴AC垂直平分CD，弧AC=弧AD

　　推论三:在同圆或者等圆中,两条平行弦所夹的弧相等。

定理简史

　　欧几里得(古希腊数学家 希腊文:Ευκλειδης. ，公元前330年~公元前275年，)几何原本第I卷中的第12个命题实际即为垂径定理，这可能是最早的有关于垂径定理的记载。

定理意义

　　垂径定理是圆的重要性质之一，它是证明圆内线段、角相等、垂直关系的重要依据，也为圆中的计算、证明和作图提供了依据、思路和方法。