纽曼定理是揭示有理逼近远远优于多项式逼近的定理。

1964年，纽曼(Neuman,D.J.)证明了如下的定理：对n≥5，存在(n,n)阶有理函式r_n(x)，使得 因此， 。但在[-1,1]上E_n(|x|)的阶是n^-1，即存在与n无关的正数C，使得 因此，R_n(|x|)在n→∞时收敛于零的速度要比E_n(|x|)收敛于0的速度快得多。

循着纽曼的途径，人们发现了许多E_n(f)与R_n(f)不同阶的函式f。

弗洛伊德(Freud,G.)指出，若在[-1,1]上f∈Lipα并且有有界变差，则

波波夫(Popov,V.A.)指出，对导数的全变差小于1的绝对连续函式f，有R_n(f)=O(n^-2)。由此可以推出，若在[-1,1]上f∈Lip1，则 这原是纽曼于20世纪60年代提出的一个猜想。

有理逼近是有理函式对连续函式的逼近。

有理函式是两个代数多项式之比，其中分母在所考虑的自变数区间内不等于零。在切比雪夫研究多项式逼近的同时也就已经考虑了有理函式的最佳逼近理论。但真正受到重视是在1964 年纽曼(D.J.Newman) 发现用 n 次有理函式在[-1,1]上通近函式[x]的过近度可以达到的惊人结果发表以后。

许多与代数多项式逼近问题可对有理函式通近作平行的讨论。例如，关于有理逼近的正定理和逆定理也都已建立。