即常态分配曲线normaldistribution，一种机率分布。常态分配是具有两个参数μ和σ2的连续。 型随机变数的分布，第一参数μ是服从常态分配的随机变数的均值，第二个参数σ2是此随机变数的方差，所以常态分配记作N(μ，σ2)。服从常态分配的随机变数的机率规律为取μ邻近的值的机率大，而取离μ越远的值的机率越小；σ越小，分布越集中在μ附近，σ越大，分布越分散。
基本介绍
- 中文名：即常态分配曲线
- 外文名：normaldistribution
- 类型：机率分布
- 表达：频率曲线
常态分配
常态分配的密度函式的特点是：关于μ对称，在μ处达到最大值，在正（负）无穷远处取值为0，在μ±σ处有拐点。它的形状是中间高两边低，图像是一条位于x轴上方的钟形曲线。当μ=0，σ2=1时，称为标準常态分配，记为N（0，1）。μ维随机向量具有类似的机率规律时，称此随机向量遵从多维正态分布。多元常态分配有很好的性质，例如，多元常态分配的边缘分布仍为常态分配，它经任何线性变换得到的随机向量仍为多维常态分配，特别它的线性组合为一元常态分配。
常态分配最早由A.棣莫弗在求二项分布的渐近公式中得到。C.F.高斯在研究测量误差时从另一个角度导出了它。P.S.拉普拉斯和高斯研究了它的性质。
生产与科学实验中很多随机变数的机率分布都可以近似地用常态分配来描述。例如，在生产条件不变的情况下，产品的强力、抗压强度、口径、长度等指标；同一种生物体的身长、体重等指标；同一种种子的重量；测量同一物体的误差；弹着点沿某一方向的偏差；某个地区的年降水量；以及理想气体分子的速度分量，等等。一般来说，如果一个量是由许多微小的独立随机因素影响的结果，那幺就可以认为这个量具有常态分配（见中心极限定理）。从理论上看，常态分配具有很多良好的性质，许多机率分布可以用它来近似；还有一些常用的机率分布是由它直接导出的，例如对数常态分配、t分布、F分布等。
常态分配套用最广泛的连续机率分布，其特徵是“钟”形曲线。
即常态分配曲线
常态分配最早由A.棣莫弗在求二项分布的渐近公式中得到。C.F.高斯在研究测量误差时从另一个角度导出了它。P.S.拉普拉斯和高斯研究了它的性质。
生产与科学实验中很多随机变数的机率分布都可以近似地用常态分配来描述。例如，在生产条件不变的情况下，产品的强力、抗压强度、口径、长度等指标；同一种生物体的身长、体重等指标；同一种种子的重量；测量同一物体的误差；弹着点沿某一方向的偏差；某个地区的年降水量；以及理想气体分子的速度分量，等等。一般来说，如果一个量是由许多微小的独立随机因素影响的结果，那幺就可以认为这个量具有常态分配（见中心极限定理）。从理论上看，常态分配具有很多良好的性质，许多机率分布可以用它来近似；还有一些常用的机率分布是由它直接导出的，例如对数常态分配、t分布、F分布等。
常态分配套用最广泛的连续机率分布，其特徵是“钟”形曲线。
即常态分配曲线套用分布
(一)常态分配
1.常态分配
若的密度函式（频率曲线）为正态函式（曲线）
(3-1)
则称服从常态分配，记号～。其中、是两个不确定常数，是常态分配的参数，不同的、不同的对应不同的常态分配。
正态曲线呈钟型，两头低，中间高，左右对称，曲线与横轴间的面积总等于1。
2．常态分配的特徵
服从常态分配的变数的频数分布由、完全决定。
(1)是常态分配的位置参数，描述常态分配的集中趋势位置。常态分配以为对称轴，左右完全对称。常态分配的均数、中位数、众数相同，均等于。
(2)描述常态分配资料数据分布的离散程度，越大，数据分布越分散，越小，数据分布越集中。也称为是常态分配的形状参数，越大，曲线越扁平，反之，越小，曲线越瘦高。
(二)标準常态分配
1．标準常态分配是一种特殊的常态分配，标準常态分配的μ和σ2为0和1，通常用（或Z）表示服从标準常态分配的变数，记为Z～N（0，1）。
2．标準化变换：此变换有特性：若原分布服从常态分配，则Z=(x-μ)/σ～N(0,1)就服从标準常态分配,通过查标準常态分配表就可以直接计算出原常态分配的机率值。故该变换被称为标準化变换。
3.标準常态分配表
标準常态分配表中列出了标準正态曲线下从-∞到X(当前值）範围内的面积比例。
（三）正态曲线下面积分布
1．实际工作中，正态曲线下横轴上一定区间的面积反映该区间的例数占总例数的百分比，或变数值落在该区间的机率（机率分布）。不同範围内正态曲线下的面积可用公式3-2计算。
（3-2）
。
2.几个重要的面积比例
轴与正态曲线之间的面积恆等于1。正态曲线下，横轴区间内的面积为68.27%，横轴区间内的面积为90.00%，横轴区间内的面积为95.00%，横轴区间内的面积为99.00%。
（四）常态分配的套用
某些医学现象，如同质群体的身高、红细胞数、血红蛋白量，以及实验中的随机误差，呈现为正态或近似常态分配；有些指标（变数）虽服从偏态分布，但经数据转换后的新变数可服从正态或近似常态分配，可按常态分配规律处理。其中经对数转换后服从常态分配的指标，被称为服从对数常态分配。
1.估计频数分布一个服从常态分配的变数只要知道其均数与标準差就可根据公式（3-2）估计任意取值範围内频数比例。
2.制定参考值範围
（1）常态分配法适用于服从正态（或近似正态）分布指标以及可以通过转换后服从常态分配的指标。
（2）百分位数法常用于偏态分布的指标。表3-1中两种方法的单双侧界值都应熟练掌握。
表3-1常用参考值範围的制定
机率
（%）常态分配法百分位数法
双侧单侧双侧单侧
下限上限下限上限
90
95
99
3.质量控制：为了控制实验中的测量（或实验）误差，常以作为上、下警戒值，以作为上、下控制值。这样做的依据是：正常情况下测量（或实验）误差服从常态分配。
4.常态分配是许多统计方法的理论基础。检验、方差分析、相关和回归分析等多种统计方法均要求分析的指标服从常态分配。许多统计方法虽然不要求分析指标服从常态分配，但相应的统计量在大样本时近似常态分配，因而大样本时这些统计推断方法也是以常态分配为理论基础的。
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一、常态分配的概念
由表1.1的频数表资料所绘製的直方图，图3.1（1）可以看出，高峰位于中部，左右两侧大致对称。我们构想，如果观察例数逐渐增多，组段不断分细，直方图顶端的连线就会逐渐形成一条高峰位于中央（均数所在处），两侧逐渐降低且左右对称，不与横轴相交的光滑曲线图3.1（3）。这条曲线称为频数曲线或频率曲线，近似于数学上的常态分配（normaldistribution）。由于频率的总和为100%或1，故该曲线下横轴上的面积为100%或1。
图3.1频数分布逐渐接近常态分配示意图
为了套用方便，常对常态分配变数X作变数变换。
（3.1）
该变换使原来的常态分配转化为标準常态分配(standardnormaldistribution)，亦称u分布。u被称为标準正态变数或标準正态离差（standardnormaldeviate）。
二、常态分配的特徵：
1．正态曲线（normalcurve）在横轴上方均数处最高。
2．常态分配以均数为中心，左右对称。
3．常态分配有两个参数，即均数和标準差。是位置参数，当固定不变时，越大，曲线沿横轴越向右移动；反之，越小，则曲线沿横轴越向左移动。是形状参数，当固定不变时，越大，曲线越平阔；越小，曲线越尖峭。通常用表示均数为，方差为的常态分配。用N（0，1）表示标準常态分配。
4．正态曲线下面积的分布有一定规律。
实际工作中，常需要了解正态曲线下横轴上某一区间的面积占总面积的百分数，以便估计该区间的例数占总例数的百分数（频数分布）或观察值落在该区间的机率。正态曲线下一定区间的面积可以通过附表1求得。对于正态或近似常态分配的资料，已知均数和标準差，就可对其频数分布作出概约估计。
查附表1应注意：
1.常态分配
若的密度函式（频率曲线）为正态函式（曲线）
(3-1)
则称服从常态分配，记号～。其中、是两个不确定常数，是常态分配的参数，不同的、不同的对应不同的常态分配。
正态曲线呈钟型，两头低，中间高，左右对称，曲线与横轴间的面积总等于1。
2．常态分配的特徵
服从常态分配的变数的频数分布由、完全决定。
(1)是常态分配的位置参数，描述常态分配的集中趋势位置。常态分配以为对称轴，左右完全对称。常态分配的均数、中位数、众数相同，均等于。
(2)描述常态分配资料数据分布的离散程度，越大，数据分布越分散，越小，数据分布越集中。也称为是常态分配的形状参数，越大，曲线越扁平，反之，越小，曲线越瘦高。
(二)标準常态分配
1．标準常态分配是一种特殊的常态分配，标準常态分配的μ和σ2为0和1，通常用（或Z）表示服从标準常态分配的变数，记为Z～N（0，1）。
2．标準化变换：此变换有特性：若原分布服从常态分配，则Z=(x-μ)/σ～N(0,1)就服从标準常态分配,通过查标準常态分配表就可以直接计算出原常态分配的机率值。故该变换被称为标準化变换。
3.标準常态分配表
标準常态分配表中列出了标準正态曲线下从-∞到X(当前值）範围内的面积比例。
（三）正态曲线下面积分布
1．实际工作中，正态曲线下横轴上一定区间的面积反映该区间的例数占总例数的百分比，或变数值落在该区间的机率（机率分布）。不同範围内正态曲线下的面积可用公式3-2计算。
（3-2）
。
2.几个重要的面积比例
轴与正态曲线之间的面积恆等于1。正态曲线下，横轴区间内的面积为68.27%，横轴区间内的面积为90.00%，横轴区间内的面积为95.00%，横轴区间内的面积为99.00%。
（四）常态分配的套用
某些医学现象，如同质群体的身高、红细胞数、血红蛋白量，以及实验中的随机误差，呈现为正态或近似常态分配；有些指标（变数）虽服从偏态分布，但经数据转换后的新变数可服从正态或近似常态分配，可按常态分配规律处理。其中经对数转换后服从常态分配的指标，被称为服从对数常态分配。
1.估计频数分布一个服从常态分配的变数只要知道其均数与标準差就可根据公式（3-2）估计任意取值範围内频数比例。
2.制定参考值範围
（1）常态分配法适用于服从正态（或近似正态）分布指标以及可以通过转换后服从常态分配的指标。
（2）百分位数法常用于偏态分布的指标。表3-1中两种方法的单双侧界值都应熟练掌握。
表3-1常用参考值範围的制定
机率
（%）常态分配法百分位数法
双侧单侧双侧单侧
下限上限下限上限
90
95
99
3.质量控制：为了控制实验中的测量（或实验）误差，常以作为上、下警戒值，以作为上、下控制值。这样做的依据是：正常情况下测量（或实验）误差服从常态分配。
4.常态分配是许多统计方法的理论基础。检验、方差分析、相关和回归分析等多种统计方法均要求分析的指标服从常态分配。许多统计方法虽然不要求分析指标服从常态分配，但相应的统计量在大样本时近似常态分配，因而大样本时这些统计推断方法也是以常态分配为理论基础的。
fromhttp://www.foodmate.net/lesson/41/3-1.php
一、常态分配的概念
由表1.1的频数表资料所绘製的直方图，图3.1（1）可以看出，高峰位于中部，左右两侧大致对称。我们构想，如果观察例数逐渐增多，组段不断分细，直方图顶端的连线就会逐渐形成一条高峰位于中央（均数所在处），两侧逐渐降低且左右对称，不与横轴相交的光滑曲线图3.1（3）。这条曲线称为频数曲线或频率曲线，近似于数学上的常态分配（normaldistribution）。由于频率的总和为100%或1，故该曲线下横轴上的面积为100%或1。
图3.1频数分布逐渐接近常态分配示意图
为了套用方便，常对常态分配变数X作变数变换。
（3.1）
该变换使原来的常态分配转化为标準常态分配(standardnormaldistribution)，亦称u分布。u被称为标準正态变数或标準正态离差（standardnormaldeviate）。
二、常态分配的特徵：
1．正态曲线（normalcurve）在横轴上方均数处最高。
2．常态分配以均数为中心，左右对称。
3．常态分配有两个参数，即均数和标準差。是位置参数，当固定不变时，越大，曲线沿横轴越向右移动；反之，越小，则曲线沿横轴越向左移动。是形状参数，当固定不变时，越大，曲线越平阔；越小，曲线越尖峭。通常用表示均数为，方差为的常态分配。用N（0，1）表示标準常态分配。
4．正态曲线下面积的分布有一定规律。
实际工作中，常需要了解正态曲线下横轴上某一区间的面积占总面积的百分数，以便估计该区间的例数占总例数的百分数（频数分布）或观察值落在该区间的机率。正态曲线下一定区间的面积可以通过附表1求得。对于正态或近似常态分配的资料，已知均数和标準差，就可对其频数分布作出概约估计。
查附表1应注意：
①表中曲线下面积为-∞到u的左侧累计面积；
②当已知μ、σ和X时先按式（3.1）求得u值，再查表，当μ、σ未知且样本含量n足够大时，可用样本均数和标準差S分别代替μ和σ，按式求得u值，再查表；
③曲线下对称于0的区间面积相等，如区间（-∞，-1.96）与区间（1.96，∞）的面积相等，
④曲线下横轴上的总面积为100%或1。
常态分配曲线下有三个区间的面积套用较多，应熟记：
常态分配曲线下有三个区间的面积套用较多，应熟记：
①标準常态分配时区间（-1,1）或常态分配时区间（μ-1σ,μ+1σ）的面积占总面积的68.27%；
②标準常态分配时区间（-1.96,1.96）或常态分配时区间（μ-1.96σ,μ+1.96σ）的面积占总面积的95%；
③标準常态分配时区间（-2.58,2.58）或常态分配时区间（μ-2.58σ,μ+2.58σ）的面积占总面积的99%。如图3.2所示。
图3.2正态曲线与标準正态曲线的面积分布
图3.2正态曲线与标準正态曲线的面积分布
