递归函数
递归函数是数论函数的一种,其定义域与值域都是自然数集,只是由于构作函数方法的不同而有别于其他的函数。处处有定义的函数叫做全函数，未必处处有定义的函数叫做部分函数。最简单又最基本的函数有三个:零函数O(x)=0(其值恒为0);射影函数；后继函数S(x)=x+1。它们合称初始函数。要想由旧函数作出新函数，必须使用各种算子。
- 中文名 递归函数
- 外文名 Recursive function
- 分类 数学术语
- 属于 数论函数之一
正文
数论函数的一种,其定义域与值域都是自然数集,只是由于构作函数方法的不同而有别于其他的函数。处处有定义的函数叫做全函数，未必处处有定义的函数叫做部分函数。最简单又最基本的函数有三个:零函数O(x)=0(其值恒为0);射影函数
递归函数 ；后继函数S(x)=x+1。它们合称初始函数。要想由旧函数作出新函数，必须使用各种算子。
代入（又名复合或叠置）是最简单又最重要的造新函数的算子，其一般形状是：由一个m元函数ƒ与m个n元函数 g1,g2,…,gm 造成新函数 ƒ (g1(x1,x2,…,xn)，g2(x1,x2,…,xn),…,gm(x1,x2，…，xn)),亦可记为ƒ(g1，g2,…,gm)(x1，x2,…,xn)。另一个造新函数的算子是原始递归式。具有n个参数u1，u2,…,un的原始递归式为：
递归函数 具有一个参数的原始递归式可简写为：
递归函数 其特点是，不能由g、h两函数直接计算新函数的一般值ƒ(u,x),而只能依次计算ƒ(u,0)，ƒ(u,1)，ƒ(u,2)，…；但只要依次计算，必能把任何一个ƒ(u,x)值都算出来。换句话说只要g,h为全函数且可计算，则新函数f也是全函数且可计算。
由初始函数出发，经过有限次的代入与原始递归式而作出的函数叫做原始递归函数。由于初始函数显然是全函数且可计算，故原始递归函数都是全函数且可计算。通常使用的数论函数全是原始递归函数，可见原始递归函数是包括很广的。但是W.阿克曼证明了，可以作出一个可计算的全函数，它不是原始递归的。经过后人改进后，这个函数可写为如下定义的阿克曼函数：
递归函数 容易看出,这个函数是处处可计算的。任给m,n的值，如果m为0，可由第一式算出；如果m不为0而n为0，可由第二式化归为求g(m,1)的值，这时第一变目减少了；如果m，n均不为0,根据第三式可先计算g(m,n-1),设为α，再计算g(m-1,α),前者第二变目减少（第一变目不变）,后者第一变目减少。极易用归纳法证得，这样一步一步地化归,最后必然化归到第一变目为0，从而可用第一式计算。所以这个函数是处处可计算的。此外又容易证明，对任何一个一元原始递归函数ƒ(x),永远可找出一数α使得ƒ(x)<g(α,x)。这样，g(x,x)+1便不是原始递归函数，否则将可找出一数b使得g(x,x)+1<g(b,x)。令x=b，即得g(b,b)+1<g(b,b)，而这是不可能的。
另一个重要的造新函数的算子是造逆函数的算子，例如，由加法而造减法，由乘法造除法等。一般，设已有函数ƒ(u,x),就x解方程ƒ(u,x)=t,可得x=g(u,t)。这时函数g叫做ƒ的逆函数。至于解一般方程ƒ(u，t,x)=0而得x＝g(u，t)可以看作求逆函数的推广。解方程可以看作使用求根算子。ƒ(u,t，x)=0的最小x根（如果有根的话），记为μx【ƒ(u,t,x)=0】。当方程没有根时,则认为μx【ƒ(u,t,x)=0】没有定义。可见,即使ƒ(u,t,x)处处有定义且可计算,但使用求根算子后所得的函数μx【ƒ(u,t,x)=0】仍不是全函数,可为部分函数。但只要它有定义，那就必然可以计算。这算子称为μ算子。如果ƒ(u,t,x)本身便是部分函数，则 μx【ƒ(u,t,x)=0】的意义是：当ƒ(u,t,n)可计算且其值为0,而x<n时ƒ(u,t,x)均可计算而其值非0，则 μx【ƒ(u,t,x)=0】指n；其他情况则作为无定义。例如，如果ƒ(u,t,x)=0根本没有根，或者虽然知道有一根为n，但ƒ(u,t,n-1)不可计算,那么 μx【ƒ(u,t,x)=0】都作为没有定义。在这样定义后,只要 μx【ƒ(u,t,x)=0】有值便必可计算。由初始函数出发,经过有穷次使用代入、原始递归式与 μ算子而作成的函数叫做部分递归函数，处处有定义的部分递归函数称为全递归函数，或一般递归函数。
原始递归函数类里还有一个重要的子类称为初等函数类,它是由非负整数与变元经过有穷次加、算术减（即｜α-b｜）、乘、算术除、叠加Σ、叠乘П而得的函数组成的类。
递归函数 波兰人A.格热高契克把原始递归函数类按定义的复杂程度来分类，称为格热高契克分层或波兰分层。
要把递归函数应用于谓词，首先要定义谓词的特征函数。谓词R(x,y)的特征函数是
递归函数 称谓词R 是递归谓词，若R 的特征函数是递归函数；称自然数子集A为递归集,若谓词x∈A是递归谓词。有了上述定义，就可以用递归函数来处理递归谓词和递归集。为了处理N×N（其中N 为自然数集）的子集，就要建立配对函数,所谓配对函数通常是指由N×N 到N 的一个函数ƒ(x，y)与它的逆函数g1(z)，g2(z)。它们都满足以下关系：
递归函数 可以构造许多原始递归的配对函数。
递归函数也可以用来处理符号串。处理的办法是对符号及符号串配以自然数。这方法是K.哥德尔开始引进的，因此称为哥德尔配数法。例如，在要处理的符号系统｛α1，α2，α3,…｝中，可以用奇数1，3，5，7，…作为α1,α2，α3，α4，…的配数，符号串
递归函数 以为其配数,其中Ps是第s个素数,nij是αij的配数。这种配数称为哥德尔配数。有了哥德尔配数法，就可以用递归函数来描写、处理有关符号串的谓词了。
递归函数 计算
数论函数的一种，其定义域与值域都是自然数集，只是由于构作函数方法的不同而有别于其他的函数。处处有定义的函数叫做全函数，未必处处有定义的函数叫做部分函数。最简单又最基本的函数有三个：零函数O（x）=0（其值恒为0）；射影函数；后继函数S（x）=x+1。它们合称初始函数。要想由旧函数作出新函数，必须使用各种算子。代入（又名复合或叠置）是最简单又最重要的造新函数的算子，其一般形状是：由一个m元函数？与m个n元函数g1,g2,…，gm造成新函数?（g1（x1,x2,…，xn），g2（x1,x2,…，xn），…，gm（x1,x2，…，xn）），亦可记为？（g1，g2,…，gm）（x1，x2,…，xn）。另一个造新函数的算子是原始递归式。具有n个参数u1，u2,…，un的原始递归式为：（图1）图1
具有一个参数的原始递归式可简写为：（图2）图2
1 
2 其特点是，不能由g、h两函数直接计算新函数的一般值？（u,x），而只能依次计算？（u,0），？（u,1），？（u,2），…；但只要依次计算，必能把任何一个？（u,x）值都算出来。换句话说?只要g,h为全函数且可计算，则新函数f也是全函数且可计算。由初始函数出发，经过有限次的代入与原始递归式而作出的函数叫做原始递归函数。由于初始函数显然是全函数且可计算，故原始递归函数都是全函数且可计算。通常使用的数论函数全是原始递归函数，可见原始递归函数是包括很广的。但是W.阿克曼证明了，可以作出一个可计算的全函数，它不是原始递归的。经过后人改进后，这个函数可写为如下定义的阿克曼函数：（图3）图3
3 容易看出，这个函数是处处可计算的。任给m,n的值，如果m为0，可由第一式算出；如果m不为0而n为0，可由第二式化归为求g（m,1）的值，这时第一变目减少了；如果m，n均不为0,根据第三式可先计算g（m,n-1），设为α，再计算g（m-1,α），前者第二变目减少（第一变目不变），后者第一变目减少。极易用归纳法证得，这样一步一步地化归，最后必然化归到第一变目为0，从而可用第一式计算。所以这个函数是处处可计算的。此外又容易证明，对任何一个一元原始递归函数？（x），永远可找出一数α使得？（x）<g（α，x）。这样，g（x,x）+1便不是原始递归函数，否则将可找出一数b使得g（x,x）+1<g（b,x）。令x=b，即得g（b,b）+1<g（b,b），而这是不可能的。另一个重要的造新函数的算子是造逆函数的算子，例如，由加法而造减法，由乘法造除法等。一般，设已有函数？（u,x），就x解方程？（u,x）=t,可得x=g（u,t）。这时函数g叫做？的逆函数。至于解一般方程？（u，t,x）=0而得x＝g（u，t）可以看作求逆函数的推广。解方程可以看作使用求根算子。？（u,t，x）=0的最小x根（如果有根的话），记为μx【？（u,t,x）=0】。当方程没有根时，则认为μx【？（u,t,x）=0】没有定义。可见，即使？（u,t,x）处处有定义且可计算，但使用求根算子后所得的函数μx【？（u,t,x）=0】仍不是全函数，可为部分函数。但只要它有定义，那就必然可以计算。这算子称为μ算子。如果？（u,t,x）本身便是部分函数，则μx【？（u,t,x）=0】的意义是：当？（u,t,n）可计算且其值为0,而x<n时？（u,t,x）均可计算而其值非0，则μx【？（u,t,x）=0】指n；其他情况则作为无定义。例如，如果？（u,t,x）=0根本没有根，或者虽然知道有一根为n，但？（u,t,n-1）不可计算，那么μx【？（u,t,x）=0】都作为没有定义。在这样定义后，只要μx【？（u,t,x）=0】有值便必可计算。由初始函数出发，经过有穷次使用代入、原始递归式与μ算子而作成的函数叫做部分递归函数，处处有定义的部分递归函数称为全递归函数，或一般递归函数。原始递归函数类里还有一个重要的子类称为初等函数类，它是由非负整数与变元经过有穷次加、算术减（即｜α-b｜）、乘、算术除（图2）、叠加Σ、叠乘П而得的函数组成的类。波兰人A.格热高契克把原始递归函数类按定义的复杂程度来分类，称为格热高契克分层或波兰分层。要把递归函数应用于谓词，首先要定义谓词的特征函数（图6）图6
。谓词R（x,y）的特征函数是（图4）：图4
称谓词R是递归谓词，若R的特征函数是递归函数；称自然数子集A为递归集，若谓词x∈A是递归谓词。有了上述定义，就可以用递归函数来处理递归谓词和递归集。为了处理N×N（其中N为自然数集）的子集，就要建立配对函数，所谓配对函数通常是指由N×N到N的一个函数？（x，y）与它的逆函数g1（z），g2（z）。它们都满足以下关系：（图5）图5
可以构造许多原始递归的配对函数。递归函数也可以用来处理符号串。处理的办法是对符号及符号串配以自然数。这方法是K.哥德尔开始引进的，因此称为哥德尔配数法。例如，在要处理的符号系统｛α1，α2，α3,…｝中，可以用奇数1，3，5，7，…作为α1,α2，α3，α4，…的配数，符号串（图7）图7
以（图8）图8
为其配数，其中Ps是第s个素数，nij是αij的配数。这种配数称为哥德尔配数。有了哥德尔配数法，就可以用递归函数来描写、处理有关符号串的谓词了
4 
8 
6 
5 8
运用
分成三组：
(一)，
目的：将1号和2号从A移到B
调用函数：hanoi(2,'A','C','B')。
在hanoi(2,'A','C','B')中递归调用如下：
A-->C----hanoi(1,'A','B','C')
A-->B----hanoi(1,'A','C','B')
C-->B----hanoi(1,'C','A','B')
(二)，
目的：将3号从A移到C
调用函数：hanoi(1,'A','B','C')
A-->C
(三)，
目的：将1号和2号从B移到C
调用函数：hanoi(2,'B','A','C')
在hanoi(2,'B','A','C')中递归递归如下：
B-->A----hanoi(1,'B','C','A')
B-->C----hanoi(1,'B','A','C')
A-->C----hanoi(1,'A','B','C')
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
总共调用了7次函数，
只要hanoi()的第一个参数大于1，它就会在内部调用自身3次，“直到第一个参数＝1，然后调用printf()”。
hanoi(n,...)调用hanoi(1,...)的次数为2的n次方减去一。
【pascal语言】
functiondo(x:integer);
begin
ifx<=1thenexit(0)
elseifx>1thenexit(do(x-1)+10)
end;
C语言
用递归法计算1+2+.....N的值。
#include<iostream.h>
intfn(inti);
voidmain()
{
intN;
cout<<"\n输入一个正整数:";
cin>>N;
cout<<"\n1+2+...+"<<N<<"的结果是:"<<fn(N)<<"\n";
}//递归函数的定义
intfn(inti)
{
if(i==1)
return1;
else
returni+fn(i-1);
}
正确写出
如何快速正确的写出递归函数？写一个递归函数是非常程式化的东西，只要按照一定的规则来写，就可以很容易地写出递归函数。写递归函数有三步：
①写出迭代公式；
②确定递归终止条件；
③将①②翻译成代码。以求n！为例：
①写出迭代公式：n！的迭代公式为
②确定递归终止条件：1！＝1就是递归终止条件
③将①②翻译成代码：将迭代公式等号右边的式子写入return语句中，即return（fact（n-1））*n;将1！＝1翻译成判断语句：if（n==1）return1;按照先测试，后递归的原则写出代码。longfact（intn）{if（n==1）return1;return（fact（n-1））*n;}下面再举一个例子，希望能帮助大家进一步体会这一原则写一个函数，求：f（n）=1+2+3+……+n的值
①写出迭代公式：迭代公式为②确定递归终止条件：f（1）＝1就是递归终止条件
③将①②翻译成代码：将迭代公式等号右边的式子写入return语句中，即return（Sum（n-1））+n;将1！＝1翻译成判断语句：if（n==1）return1;按照先测试，后递归的原则写出代码。longSum（intn）{if（n==1）return1;return（Sum（n-1））+n;}