蝴蝶定理的英文是Butterfly Theorem，蝴蝶定理是古典欧氏平面几何的最精彩的结果之一。这个命题最早出现在1815年，而"蝴蝶定理"这个名称最早出现在《美国数学月刊》1944年2月号，题目的图形像一只蝴蝶。这个定理的证法多得不胜枚举，至今仍然被数学热爱者研究，在考试中时有出现各种变形

• 中文名称 蝴蝶定理
• 外文名称 Butterfly Theorem
• 别称 蝴蝶原理
• 表达式 XM=MY
• 提出者 W.G.霍纳

定理定义

　　蝴蝶定理(Butterfly Theorem):设M为圆内弦PQ的中点，过M作弦AB和CD。设AD和BC各相交PQ于点X和Y，则M是XY的中点。

　　去掉中点的条件，结论变为一个一般关于有向线段的比例式，称为"坎迪定理"， 不为中点时满足:1/MY-1/MX=1/MQ-1/MP ,这对2，3均成立。

蝴蝶定理的证明

验证推导

霍纳证法

　　过O作OL⊥ED，OT⊥CF，垂足为L、T，

　　连接ON，OM，OS，SL，ST，易明△ESD∽△CSF

　　∴DS/FS=DE/FC

　　根据垂径定理得:DL=DE/2，FT=FC/2

　　∴DS/FS=DL/FT

　　又∵∠D=∠F

　　∴△DSL∽△FST

　　∴∠SLD=∠STF

　　即∠SLN=∠STM

　　∵S是AB的中点所以OS⊥AB

　　∴∠OSN=∠OLN=90°

　　∴O，S，N，L四点共圆，(一中同长)

　　同理，O，T，M，S四点共圆

　　∴∠STM=∠SOM，∠SLN=∠SON

　　∴∠SON=∠SOM

　　∵OS⊥AB

　　∴MS=NS

作图法

　　从X向AM和DM作垂线，设垂足分别为X'和X''。类似地，从Y向BM和CM作垂线，设垂足分别为Y'和Y''。

证法2

　　(证明过程见图片)

证明方法二

对称法

　　(证明过程见图片)

证法3:对称证法

面积法

　　(证明过程见图片)【此方法也可证明蝴蝶定理的一般形式:坎迪定理】

证法4:面积法

帕斯卡证法

　　连接CO、EO并延长分别交圆O于I、J，连接IF、DJ交于K，

　　连接GK、HK。由帕斯卡定理得:M、O、K共线

　　∵M为AB中点 ∴KM⊥AB∴∠GMK=∠HMK=90°

证法5:帕斯卡定理证法

　　又∵CI、EJ为⊙O直径

　　∴∠GFK=∠HDK=90°

　　又∵∠GMK=∠HMK=90°

　　∴∠GMK+∠GFK=∠HMK+∠HDK=90°+90°=180°

　　∴G、F、K、M共圆，H、D、K、M共圆

　　∴∠GKM=∠GFM，∠MKH=∠MDH

　　又∵∠GFM=∠MDH

　　∴∠GKM=∠MKH

　　又∵∠GMK=∠HMK=90°

　　∴△GMK≡△HMK(ASA)

　　∴GM=MH

射影法

　　1.构造特殊情况:如右图1，A'B'、C'D'、M'N'为⊙O'内三条直径，A'D'∩M'N'=P'，B'C'∩M'N'=Q'，则由圆中心对称性知P'O'=Q'O'.

　　2.中心投影:在不属于⊙O'所在平面的空间上任取一点T作为投影中心，用平行于直线M'N'的平面截影，则圆O'被射影为椭圆，线段M'N'被射影为与之平行的M''N''，如图2，则对应存在P''O''=Q''O''.

　　3.仿射:将图2的椭圆仿射为圆，如图3，由仿射不变性知PO=QO.

定理推广

　　该定理实际上是射影几何中一个定理的特殊情况，有多种推广:M，作为圆内弦是不必要的，可以移到圆外。

　　蝴蝶定理的圆外形式:

　　如图，延长圆O中两条弦AB与CD交于一点M，过点M做OM垂线，垂线与CB和AD的延长线交于E、F，则可得出ME=MF(证明方法可参考蝴蝶定理的证法2、3、4)

圆外蝴蝶定理

　　1.在椭圆中

椭圆中的蝴蝶定理

　　如图一，椭圆的长轴A1、A2与x轴平行，短轴B1B2在y轴上，

　　中心为M(o，r)(b>r>0)。

　　(I)写出椭圆的方程，求椭圆的焦点坐标及离心率

　　(II)直线y=k1x交椭圆于两点C(x1,y1),D(x2，y2)(y2>0);直线y=k2x交椭圆于两点G(x3，y3)，H(x4，y4)(y4>0)。求证:k1x1x2/(x1+x2)=k2x3x4/(x3+x4)

　　(III)对于(Ⅱ)中的C，D，G，H，设CH交X轴于点P，GD交X轴于点Q。

　　求证: | OP | = | OQ |。(证明过程不考虑CH或GD垂直于X轴的情形)

　　从x向AM和DM作垂线，设垂足分别为X'和X''。

　　类似地，从Y向BM和CM作垂线，设垂足分别为Y'和Y'

　　设:k1x1x2/(x1+x2)=k2x3x4/(x3+x4)为①式，两边同取倒数，得为

证明过程图片

　　1/k1x2+1/k1x1=1/k2x4+1/k2x3 ①'

　　设:x1x4/(k1x1-k2x4)=-x2x3/(k1x2-k2x3)为 ②式，两边同取倒数，得k1/x4-k2/x1=k2/x2-k1/x3，移项得k2/x1+k2/x2=k1/x3+k1/x4 ②'

　　将①'两边同乘以k1·k2，即得

　　k2/x1+k2/x2=k1/x3+k1/x4

　　它与②'完全一样。这里利用两式同时变形的方法可以较容易实现目的，有分析、有综合，有思维，有运算。思路的选择有赖于对式子特征的观察联想。

　　纵观这道题的题目特征及解答过程，我们看到了用代数方程方法处理几何问题的作用与威力。

　　2.在圆锥曲线中

　　通过射影几何，我们可以非常容易的将蝴蝶定理推广到普通的任意圆锥曲线(包括椭圆，双曲线，抛物线，甚至退化到两条相交直线的情况)。

　　圆锥曲线C上弦PQ的中点为M，过点M任作两弦AB，CD，弦AD与BC分别交PQ于X，Y，则M为XY之中点。

　　而通过投影变换可以非常容易证明这个定理。

　　射影几何里面关于投影变换有一个重要结论，对于平面上任意两个圆锥曲线C1,C2.任意指定C1内部一个点A1和C1上面一个点B1,另外任意指定C2内部一个点A2和C2上面一个点B2,存在一个唯一投影变换将曲线C1变换到C2而且A1变换到A2,B1变换到B2.

　　由此对于本题，我们可以通过投影变换将C1变换成一个圆M，而将弦PQ的中点M变换成这个圆的圆心。

　　在此变换以后，弦AB和CD都是圆M的直径而且四边形ACBD是圆M内接矩形，PQ也是一条直径，有对称性显然得出投影变换后M为X,Y的中点。又因为变换前后M都是线段PQ的中点，我们可以得出在直线PQ上这个变换是仿射变换，所以变换前M也是XY的中点。

　　3.在平行四边形中

　　在平行四边形中，M为对角线AB与CD中点。

　　4.坎迪定理

　　去掉中点的条件，结论变为一个一般关于向量的比例式，成为「坎迪定理」，这对2，3均成立

坎迪定理

发展历史

　　这个命题最早作为一个征解问题出现在公元1815年英国的一本杂志《男士日记》(Gentleman's Diary)39-40页(P39-40)上。有意思的是，直到1972年以前，人们的证明都并非初等，且十分繁琐。

　　这篇文章登出的当年，英国一个自学成才的中学数学教师W.G.霍纳(他发明了多项式方程近似根的霍纳法)给出了第一个证明，完全是相等的;另一个证明由理查德·泰勒(Richard Taylor)给出。

　　另外一种早期的证明由M.布兰德(Mile Brand)1827年的一书中给出。最为简洁的证法是射影几何的证法，由英国的J·开世在"A Sequel to the First Six Books of the Elements of Euclid"给出，只有一句话，用的是线束的交比。

　　"蝴蝶定理"这个名称最早出现在《美国数学月刊》1944年2月号，题目的图形象一只蝴蝶。

　　1981年，Crux杂志刊登了K.萨蒂亚纳拉亚纳(Kesirajn Satyanarayana)用解析几何的一种比较简单的方法，利用直线束，二次曲线束。

　　1990年，CMO出现了筝形蝴蝶定理。

定理意义

　　蝴蝶定理是古典欧式平面几何的最精彩的结果之一。这个定理的证法不胜枚举，至今仍然被数学热爱者研究，在考试中时有出现各种变形。