虚数可以指不实的数字或并非表明具体数量的数字。

在数学中，虚数就是形如a+b×i的数，其中a,b是实数，且b≠0。剩下的i则为虚数（所有虚数单位记作i），i²=-1（所有实数的平方都是非负数）虚数这个名词是17世纪著名数学家笛卡尔创立，因为当时的观念认为这是真实不存在的数字。后来发现虚数a+b×i的实部a可对应平面上的横轴，虚部b可对应平面上的纵轴，这样虚数a+b×i可与平面内的点(a,b)对应。

• 中文名 虚数
• 外文名 imaginary number
• 定义 平方是负数的或根号内是负数的数
• 学科 数学、物理、广义哲学
• 发明人 勒内·笛卡尔

简介

　　虚数可以指以下含义：

虚数

　　(1)[unreliable figure]：虚假不实的数字。

　　(2)[imaginary part]：复数中a+bi，b为虚部，a为实部。

　　(3)[imaginary number]：汉语中不表明具体数量的词。

　　如果一个数的平方是负数的话，这个数就是虚数了；所有的虚数都是复数。“虚数”这个名词由17世纪著名数学家笛卡尔创制，但是当时的观念认为虚数是不真实存在的数字。后来发现虚数可对应平面上的纵轴，与对应着平面上横轴的实数同样真实。虚数轴和实数轴构成的平面称复数平面，复数平面上每一点对应着一个复数。

历史

起源

　　要追溯虚数出现的轨迹，就要联系与它相对实数的出现过程。我们知道，实数是与虚数相对应的，它包括有理数和无理数，也就是说它是实实在在存在的数。

　　有理数出现的非常早，它是伴随人们的生产实践而产生的。

　　无理数的发现，应该归功于古希腊毕达哥拉斯学派。无理数的出现，与德谟克利特的“原子论”发生矛盾。根据这一理论，任何两个线段的比，不过是它们所含原子数目的经。而勾股定理却说明了存在着不可通约的线段。

　　不可通约线段的存在，使古希腊的数学家感到左右为难，因为他们的学说中只有整数和分数的概念，他们不能完全表示正方形对角线与边长的比，也就是说，在他们那里，正方形对角线与边长的比不能用任何“数”来表示。西亚他们已经发现了无理数这个问题，但是却又让它从自己的身边悄悄溜走了，甚至到了希腊最伟大的代数学家丢番图那里，方程的无理数解仍然被称为是“不可能的”。

　　“虚数”这个名词是17世纪著名数学家、哲学家笛卡尔创制，因为当时的观念认为这是真实不存在的数字。后来发现虚数可对应平面上的纵轴，与对应平面上横轴的实数同样真实。

　　人们发现即使使用全部的有理数和无理数，也不能长度解决代数方程的求解问题。像x^2+1=0这样最简单的二次方程，在实数范围内没有解。12世纪的印度大数学家婆什伽罗都认为这个方程是没有解的。他认为正数的平方是正数，负数的平方也是正数，因此，一个正数的平方根是两重的；一个正数和一个负数，负数没有平方根，因此负数不是平方数。这等于不承认方程的负数平方根的存在。

　　到了16世纪，意大利数学家卡尔达诺在其著作《大术》（《数学大典》）中，把记为1545R15-15m这是最早的虚数记号。但他认为这仅仅是个形式表示而已。1637年法国数学家笛卡尔，在其《几何学》中第一次给出“虚数”的名称，并和“实数”相对应。

　　1545年意大利米兰的卡尔达诺发表了文艺复兴时期最重要的一部代数学著作，提出了一种求解一般三次方程的求解公式：

　　形如：x^3+ax+b=0的三次方程解如下：

虚数

　　当卡丹试图用该公式解方程x^3-15x-4=0时他的解是：x=[2+(-121)^(1/2)]^(1/3)+[2-(-121)^(1/2)]^(1/3)

　　在那个年代负数本身就是令人怀疑的，负数的平方根就更加荒谬了。因此卡丹的公式给出x=(2+j)+(2-j)=4。容易证明x=4确实是原方程的根，但卡丹不曾热心解释(-121)^(1/2)的出现。认为是“不可捉摸而无用的东西”。

　　直到19世纪初，高斯系统地使用了i这个符号，并主张用数偶（a、b）来表示a+bi，称为复数，虚数才逐步得以通行。

　　由于虚数闯进数的领域时，人们对它的实际用处一无所知，在实际生活中似乎没有用复数来表达的量，因此在很长一段时间里，人们对它产生过种种怀疑和误解。笛卡尔称“虚数”的本意就是指它是虚假的；莱布尼兹则认为：“虚数是美妙而奇异的神灵隐蔽所，它几乎是既存在又不存在的两栖物。”欧拉尽管在许多地方用了虚数，但又说：“一切形如,√-1，√-2的数学式子都是不可能有的，想象的数，因为它们所表示的是负数的平方根。对于这类数，我们只能断言，它们既不是什么都不是，也不比什么都不是多些什么，更不比什么都不是少些什么，它们纯属虚幻。”

　　继欧拉之后，挪威测量学家维塞尔提出把复数（a+bi）用平面上的点来表示。后来高斯又提出了复平面的概念，终于使复数有了立足之地，也为复数的应用开辟了道路。现在，复数一般用来表示向量（有方向的量），这在水利学、地图学、航空学中的应用十分广泛，虚数越来越显示出其丰富的内容。

　　在数学里，将平方是复数的数定义为纯虚数。所有的虚数都是复数。定义为i^2=-1。但是虚数是没有算术根这一说的，所以±√(-1)=±i。对于z=a+bi,也可以表示为e的iA次方的形式，其中e是常数，i为虚数单位，A为虚数的幅角，即可表示为z=cosA+isinA。实数和虚数组成的一对数在复数范围内看成一个数，起名为复数。虚数没有正负可言。不是实数的复数，即使是纯虚数，也不能比较大小。

　　这种数有一个专门的符号“i”(imaginary)，它称为虚数单位。不过在电子等行业中，因为i通常用来表示电流，所以虚数单位用j来表示。

符号来历

虚数

　　1777年瑞士数学家欧拉(Euler，或译为欧勒)开始使用符号i表示虚数的单位。

　　而后人将虚数和实数有机地结合起来,写成a+bi形式， 其中a、b为实数，a等于0时叫纯虚数，ab都不等于0时叫复数，b等于0时就是实数。

　　通常，我们用符号C来表示复数集，用符号R来表示实数集。

　　i 的高次方会不断作以下的循环：

　　i^1 = i，i^2 = -1，i^3 = - i，i^4 = 1

　　i^5 = i，i^6 = -1……i^n = i^(n-4)

　　由于虚数特殊的运算规则，出现了代数符号 i

　　为方便运算，后来人们又用极坐标来表示虚数。格式为r∠θ

相关描述

　　虚数 原作：劳伦斯·马克·莱瑟（阿姆斯特朗大西洋州立学院）

　　翻译：徐国强

　　虚文自古向空构，艾字如今可倍乘。所问逢人惊诧甚，生活何处有真能？嗟哉小试调音放，讶矣大为掌夜灯。三极管中知用否，交流电路肯咸恒。凭君漫问荒唐义，负值求根疑窦增。情类当初听惯耳，事关负数见折肱。几分繁复融学域，百计联席悦有朋。但看几何三角地，蓬勃艾草意同承[①]。

　　IMAGINARY by Lawrence Mark LesserArmstrong Atlantic State University

　　Imaginary numbers, multiples of iEverybody wonders, "are they used in real life?"Well, try the amplifier I'm using right now -- A.C.!You say it's absurd,this root of minus one.but the same things once were heardAbout the number negative one!Imaginary numbers are a bit complex,But in real mathematics, everything connects:Geometry, trig and call all see "i to i."

　　[①] see "i to i."指可见虚数符号的应用，并谐音双关see eye to eye 为意见一致。

释义

概念

　　我们可以在平面直角坐标系中画出虚数系统。如果利用横轴表示全体实数，那么纵轴即可表示虚数。整个平面上每一点对应着一个复数，称为复平面。横轴和纵轴也改称为实轴和虚轴。

虚数

　　不能满足于上述图像，，解释的同学或学者可参考以下题目和说明：

　　若存在一个数，它的倒数等于它的相反数（或者它的倒数的相反数为其自身），这个数是什么形式？

　　根据这一要求，可以给出如下方程：

　　-x = (1/x)

　　不难得知，这个方程的解x=i （虚数单位）

　　由此，若有代数式 t'=ti，我们将i理解为从t的单位到t'的单位之间的转换单位，则t'=ti将被理解为

　　-t' = 1/t

　　即

　　t' = - 1/t

　　这一表达式在几何空间上的意义不大，但若配合狭义相对论，在时间上理解，则可以解释若相对运动速度可以大于光速c，相对时间间隔产生的虚数值，实质上是其实数值的负倒数。也就是所谓回到过去的时间间隔数值可以由此计算出来。

　　虚数成为微晶片和数字压缩算法设计中的核心工具，虚数是引发电子学革命的量子力学的理论基础。

通俗解释

　　若设√(-1)=未知数i，根据幂指数计算原则，有√(-25)=√(25)*√(-1)=5*i=5i

　　由√(-1)=未知数i，可得i的平方=-1，i的立方=-i，i的4次方=1，……以此类推①

　　如果只把i当成代数，则i将符合一切实数运算规则，但要根据①式变通来简便运算。

　　而这也是实际情况，不要把虚数当成高等数学，它只是一个小学就学过的代数而已！

　　现在我们就来实践一下，看看虚数比二元一次方程简单多少倍！下式中^2表示平方，^3表示立方。

　　a(b+ci)=ab+aci

　　(bi)^2=(b^2)*(i^2)=(b^2)*(-1)=-(b^2)

　　(a+bi)^2=a^2+2abi+(bi)^2=a^2-b^2+2abi

　　(a+bi)(a-bi)=a^2-(bi)^2=a^2+b^2

　　(a+bi)^3=a^3+3a^2*bi+3a(bi)^2+(bi)^3=a^3-3ab^2+(3a^2*b-b^3)i

　　明显，无论进行何种运算，i都有意义(相对于，未引入i时，负数的平方根没有解)

　　下面将进一步补充证明这一点

　　(a+ai)^2=a^2-a^2+2aai=2a^2*i

　　(a-ai)^2=-2a^2*i

　　推导得√(±ai)=±[√(a/2)±√(a/2)i]，右式中前一个±号表示两个解，后一个±号与左式中的±号相同。

　　以此类推，得√(a±bi)=±[√(N+M)±√(N-M)i]，其中N=√(a^2+b^2)/2，M=a/2

　　(A+Bi)/(a+bi)=C+Di，其中C=(aA+bB)/(a^2+b^2)，D=(aB-Ab)/(a^2+b^2)

　　以此类推，(a+bi)^n在n为任何值时都成立。但明显，其计算幂和除法时过于复杂，下面将对虚数进行研究，以简化运算。

　　设想一下，如果用直角坐标(x,y)对应(a+bi)，那么数的范围将由直线(数轴)扩充到平面，这对于数学研究有极大的帮助。但这仍无助于解决以上问题，因此我们需要引入极坐标概念。

　　极坐标(r,θ)中的 r 为点与原点的距离，θ 为点所在的角度，以原点向右为0度，向上为90度，逆时针增加度数，顺时针减少度数，一圈为360度。用极坐标表示虚数时，用r∠θ 格式。

　　直角坐标转极坐标POL(x,y)→(r,θ)，r^2=x^2+y^2，θ=IF(r=0,0,acos(x/r)*sign(sign(y)+0.5))

　　极坐标转直角坐标REC(r,θ)→(x,y)，x=r*cos(θ)，y=r*sin(θ)

　　接下来，进行几次幕运算，观察结果，找出规律。

　　(3+4i)^0=1∠0=5^0∠0*53度

　　(3+4i)^1=5∠53度=5^1∠1*53度

　　(3+4i)^2=25∠106度=5^2∠2*53度

　　(3+4i)^3=125∠159度=5^3∠3*53度

　　(3+4i)^1.5=11.2∠80度=5^1.5∠1.5*53度（其中^1.5表示立方的平方根，即√(x^3) ）

　　显然，有(a+bi)^n=r^n∠nθ

　　至此研究告一段落，接下来是汇总了，请看基本运算。

基本运算

　　加减与实数相同(a+bi)

　　乘方(幕)　(a+bi)^n=r^n∠nθ，乘方与实数运算相同，但(a+bi)^n不便于运算，一般转化成r^n∠nθ再转换回（A+Bi）以简化运算。

　　乘法与实数相同，可用 “i的平方=-1，i的立方=-i，i的4次方=1” 来加快运算。乘法也可转化(一般不用)，即(a+bi)(A+Bi)=rR∠(θ1+θ2)

　　意义上除法与实数相同(只是乘法的逆运算)，但”(A+Bi)/(a+bi)=C+Di“属于二元一次方程，虽有公式C=(aA+bB)/(a^2+b^2)，D=(aB-Ab)/(a^2+b^2)，仍属麻烦。除非除数是实数，一般都会进行转化，即(a+bi)/(A+Bi)=r/R∠(θ1-θ2)

　　绝对值指点与原点的距离，而不是去符号，因此abs(a+bi)=r=√(a^2+b^2)

　　平方根立方根是平方立方的逆运算，因此有　(a+bi)的n次方根=(a+bi)^(1/n)=r^(1/n)∠θ/n，转化即可。

　　比较大小，虚数的特殊形式决定了它们将无法相互比较大小，但若只比较数与原点的距离，即比较两虚数绝对值的大小，则可以比较。所以，两虚数无法比较大小，但他们的绝对值可以。

　　许多实数的运算都可以推广到i，例如指数、对数和三角函数。

　　i的平方根为：

　　√i=1/√2（1+i） √-i=[1/√2（1+i）]i=1/√2(-1+i)

　　总之√±i=1/√2(±1+i)

　　ln i的值为：

　　ln(i)=π^i/2

　　log i的值为：

　　log i=ln i/ln 10=π^i/2/ln10

　　一个数的ni次方为：

　　x^(ni) = cos(ln(x^n)) + i sin(ln(x^n)).

　　一个数的ni次方根为：

　　x^(1/ni) = cos(ln(x^(1/n))) - i sin(ln((x^(1/n))).

　　以i为底的对数为：

　　log_i(x) = 2 ln(x)/ iπ.

　　i的余弦是一个实数：

　　cos(i) = cosh(1) = (e + 1/e)/2 = (e^2 + 1) /2e = 1.54308064.

　　i的正弦是虚数：

　　sin(i) = sinh(1) i =[(e - 1/e)/ 2]i = 1.17520119 i.

　　i的正切是虚数：

　　tan i=cosh 1/sinh (1)i

　　i的余切是虚数：

　　cot i=1/tan i

　　i的正割是虚数：

　　sec i=1/sin i

　　i的余割是实数：

　　csc i=1/cos i

　　特殊的三角函数：

　　i的正矢为实数：

　　versin i=1-cos i =-0.54308064.

　　vercosin=1+cos i=2.54308064.

　　i的余矢为虚数：

　　coversin i=1-sin i

　　covercosin i=1+sin i

　　i的半正矢为实数：

　　haeversin i=(1-cos i)/2=-0.2715460……

　　haevercosin i=(1+cos i）/2

　　i的半余矢为虚数：

　　hacoversin i=(1-sin i)/2

　　haovercosin i=(1+sin i)/2

　　i的外正割为虚数：

　　exsec i=sec i-1

　　i的外余割为实数：

　　excsc i=csc i-1

　　i,e,π,0和1的奇妙关系：

　　e^(iπ)+1=0

　　i^i=e^(-π÷2）

　　另外，还有一些公式：

　　（1+i)^2=2i  (1-i)^2=-2i  (1+i)(1-i)=2

　　1/1+i=1-i/2  i^n=i^n mod4 

　　i^n+i^-n=0(n为奇数）-2（n为偶数，非为4的倍数）2（n为偶数，为4的倍数）

计算

四则运算

　　(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i

　　(a+bi)(c+di）=(ac-bd)+(ad+bc)i

　　(a+bi)/(c+di)=(ac+bd)/(c^2+d^2)+(bc-ad)/(c^2+d^2)i

　　r1(isina+cosa)r2(isinb+cosb)=r1r2(cos(a+b)+isin(a+b)

　　r1(isina+cosa）/r2(isinb+cosb)=r1/r2(cos(a-b)+isin(a-b))

　　r(isina+cosa)^n=r^n(isinna+cosna)

三角函数

　　sin(a+bi)=sinacosbi+sinbicosa

　　=sinachb+ishbcosa

　　cos(a-bi)=coscosbi+sinbisina

　　=cosachb+ishbsina

　　tan(a+bi)=sin(a+bi)/cos(a+bi)

　　cot(a+bi)=cos(a+bi)/sin(a+bi)

　　sec(a+bi)=1/cos(a+bi)

　　csc(a+bi)=1/sin(a+bi)

共轭复数

　　_(a+bi)=a-bi

　　_(z1+z2)=_z1+_z2

　　_(z1-z2)=_z1-_z2

　　_(z1z2)=_z1_z2

　　_(z^n)=(_z)^n

　　_z1/z2=_z1/_z2

　　_z*z=|z|^2∈R

乘方

　　z^mz^n=z^(m+n)

　　z^m/z^n=z^(m-n)

　　(z^m)^n=z^mn

　　z1^mz2^m=(z1z2)^m

　　(z^m)^1/n=z^m/n

　　z*z*z*…*z（n个）=z^n

　　z1^n=z2-->z2=z1^1/n

　　logai(x)=ln(x)/[ iπ/2+ lna] 

　　x^(ai+b)=x^ai*x^b

　　= x^b[cosln(x^a) + i sinln(x^a). ] 

特殊示例

　　i^4+i^3+i^2+i=0

　　我们知道，平方根有二个解，立方根有三个解(一实两虚)，四次方根有四个解(二实二虚)，以此类推，100次方根就有一百个解，如果指数为无理数，如5的√2次方根，将有无限多个解，其坐标可构成一条曲线。但是，由于实数轴只是一根直线，实际的实数解将不超过两个。