绝对值不等式
在不等式应用中，经常涉及质量、面积、体积等，也涉及某些数学对象（如实数、向量）的大小或绝对值。它们都是通过非负数来度量的。
公式：||a|-|b|| ≤|a±b|≤|a|+|b|
- 中文名 绝对值不等式
- 外文名 Absolute value inequality
- 运用范围 数学
- 公式 | |a|-|b| |≤|a+b|≤|a|+|b|
基本介绍
在不等式应用中，经常涉及重量、面积、体积等等，也涉及某些数学对象（如实数、向量）的大小或绝对值。它们都是通过非负数来度量的。
绝对值不等式 公式：| |a|-|b| |≤|a+b|≤|a|+|b|
性质介绍
|a|表示数轴上的点a与原点的距离叫做数a的绝对值。
简单从图像来看，绝对值不等式即为三角形的三边性质：两边之和大于第三边；两边之差小于第三边。
绝对值不等式 两个重要性质
1.|ab|=|a||b|
|a/b|=|a|/|b| （b≠0）
2.|a|<|b| 可逆 a²;<b²;
||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|，当且仅当ab≤0时左边等号成立，ab≥0时右边等号成立。
另外有：|a-b|≤|a|+|-b|=|a|+|-1|*|b|=|a|+|b|
| |a|-|b| |≤|a±b|≤|a|+|b|
几何意义
1.当a，b同号时它们位于原点的同一边，此时a与﹣b的距离等于它们到原点的距离之和。
2.当a，b异号时它们分别位于原点的两边，此时a与﹣b的距离小于它们到原点的距离之和。
(|a-b|表示a-b与原点的距离，也表示a与b之间的距离)
相关公式
绝对值重要不等式
我们知道|a|={a，(a>0)， a，（a=0)， ﹣a，（a<0)，}因此，有
﹣|a|≤a≤|a| ......①
﹣|b|≤b≤|b| ......②
同样地
绝对值不等式 ①，②相加得
﹣﹙|a|+|b|)≤a+b≤|a|+|b|
即 |a+b|≤|a|+|b| ......③
易得，当且仅当ab≥0时，③式等号成立。由③可得
|a|=|(a+b)-b|≤|a+b|+|-b|......④
即 |a|-|b|≤|a+b| ......⑤
对④式，由上面知，当且仅当(a+b)(-b)≥0时等号成立，所以⑤式等号成立的充要条件是b(a+b)≤0。
综合③，⑤我们得到有关绝对值（absolute value)的重要不等式
|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|
还有，使用时（特别是求最值）要注意等号成立的条件，即：
|a+b|=|a|+|b|→ab≥0
|a-b|=|a|+|b|→ab≤0
|a|-|b|=|a+b|→b(a+b)≤0
|a|-|b|=|a-b|→b(a-b)≥0
注：|a|-|b|=|a+b|→|a|=|a+b|+|b|→|（a+b）-b|=|a+b|+|b|→b(a+b)≤0
同理可得|a|-|b|=|a-b|→b(a-b)≥0
另 “→”指可双向推出
解法
解决与绝对值有关的问题（如解绝对值不等式，解绝对值方程，研究含有绝对值符号的函数等等），其关键往往在于去掉绝对值符号。而去掉绝对值符号的基本方法有二。
以下，具体说说绝对值不等式的解法：
绝对值不等式 其一为平方，所谓平方，比如，|x|=3，可化为x^2=9，绝对值符号没有了！
说到“平方法”。不等式两边可不可以同时平方呢？一般来说，有点问题。比如5>3，平方后，5^2>3^2;，但1>-2，平方后，1^2<(-2)^2;。 事实上，本质原因在于函数y=x^2在R上不单调。但我们知道，y=x^2在R+上单调递增，因此不等式两边都是非负数时，同时平方，不等号的方向不变，这是可以的。这里说到的单调性的问题，是高一与高二数学的重点内容，不明白可以跳过，到时候可一定要用心听! 有初中数学的基础，也应该明白，对两个非负数来说，大的那个数，它的平方也相应会大一些;反过来，平方大一些的数，这个数本来也会大一些。比如|2x-1|≥1，两边同时平方，可得(2x-1)^2≥1，整理得4x^2-4x≥0，即4x(x-1)≥0，因此x≤0或x≥1。
其二为讨论，所谓讨论，即x≥0时，|x|=x ；x<0时，|x|=-x，绝对值符号也没有了！
说到讨论，就是令绝对值中的式子等于0，分出x的段，然后根据每段讨论得出的x值，取交集，综上所述即可。