四条线段首尾相接，并且最后一条的尾端和最初一条的首端重合，就组成一个四边形，如果四个顶点不共面，那么这样的四边形叫做空间四边形。空间四边形ABCD可以看作同一平面内有一条公共边BD的两个三角形ABD和CBD沿着BD适当翻折而成的，因此，有关空间四边形的问题常常可以借助于平面几何中有关三角形的知识获得解决。

• 中文名 空间四边形
• 外文名 The quadrilateral space
• 所属学科 数学
• 所属问题 空间几何（空间多边形）
• 简介 四个顶点不共面的四边形

基本介绍

图1

　　空间四边形亦称偏斜四边形，是空间多边形的一种，即各边不在同一平面内的四边形。若封闭折线ABCD为空间四边形，则点A，B，C，D不在同一平面内，称为空间四边形的顶点.AB，BC，CD，DA称为它的边：其中AB，BC；BC，CD；CD，DA；DA，AB是它的四对邻边；AB，CD;BC，DA，是它的两对对边(如图1)。AC与BD称为它的对角线。连结对边中点的线段称为它的双中位线。设P，Q，R，S分别是AB，BC，CD，DA的中点，则PR，QS是空间四边形的两条双中位线(如图2)。

图2

空间四边形的性质​

　　空间四边形有下列性质：

　　1. 连结两对两邻边中点的线段互相平行且相等，且都等于与之平行的对角线的一半。如图2，

　　即：

　　因此，四边中点组成一个平行四边形.从而知空间四边形的两条双中位线(PR与QS)相交且互相平分。

　　2.由于每三条依次相邻的边的中点都不在同一直线上.是三角形的顶点，可知一条双中位线的长小于两对角线的和的一半，即

　　PR<PQ+QR=1/2(AC+BD)，

　　QS<QR+RS=1/2(AC+BD).

　　3.若两对角线互相垂直，则四边形中点连线所成的平行四边形为矩形。

　　4.取四边形的ABCD的边AB，BC，CD，DA的中心P，Q，R，S与对角线AC，BD的中点U，V，得到它的两个平面PVRU与QUSV，第一个面是与对边BC，DA平行的，第二个面是与对边AB，CD平行的.人们把平行于空间四边形一对对边的平面称为空间四边形的方向平面。任一空间四边形有两组方向平面，每组中的平面相互平行。

　　5.若空间四边形中，对边中点的连线垂直且平分对边时(如图2中的PR或QS)，则称其为等腰偏斜梯形，且这对对边中点的连线称为等腰偏斜梯形的对称轴。

例题解析

　　【例1】试证内接于空间四边形的任何平面四边形的对边如果相交，那么交点必定在空间四边形的对角线上。

　　已知：如图3，空间四边形ABCD，又平面四边形PQRS的顶点P、Q、R、S分别在线段AB、AD、CD、CB上，且PQ∩SR=K。

　　求证：K∈BD。

　　证明∵ P∈AB，Q∈AD，K∈PQ，

　　∴PQ⊂平面ABD，∴ K∈平面ABD，

　　同理K∈平面BCD，∴K∈BD。

　　说明：怎样证明点在直线上?本题告诉我们，如果要证明点在两个平面的交线上，那么只需要证明这个点既在第一个平面上又在第二个平面上即可。

　　【例2】证明:空间四边形各边的中点是平行四边形的顶点。

　　提示设A₁，B₁，C₁和D₁是边AB，BC，CD和DA的中点，则A₁B₁ // AC和C₁D₁// AC，所以A₁B₁//C₁D₁(特别地，点A₁,B₁,C₁和D₁在一个平面上)，类似地B₁C₁// A₁D₁。

　　【例3】证明：问题1中的平行四边形的中心与连接四边形对角线中点的线段的中点重合。

　　提示设A₁,B₁,C₁和D₁是边AB，BC，CD和DA的中点。再设P和Q是对角线AC和BD的中点，则线段A₁Q和PC₁平行于线段AD，同时这两个线段每一个的长等于线段AD长的一半，因此A₁PC₁Q是平行四边形，所以线段A₁C₁的中点与线段PQ的中点重合。