积分中值定理分为积分第一中值定理和积分第二中值定理，它们各包含两个公式。其退化状态均指在ξ的变化过程中存在一个时刻使两个图形的面积相等。

• 中文名 积分中值定理
• 分类 积分第一中值定理，积分第二中值定理
• 包含 各包含2个公式

基本简介

　　积分中值定理分为积分第一中值定理和积分第二中值定理，它们各包含两个公式。其退化状态均指在ξ的变化过程中存在一个时刻使两个图形的面积相等。

定理介绍

　　积分中值定理：
　　若函数 f(x) 在 闭区间 [a, b]上连续,，则在积分区间 [a, b]上至少存在一个点 ξ，使下式成立
　　∫ 下限a上限b f(x)dx=f(ξ)(b-a) （ a≤ ξ≤ b)
　　证明：
　　因为 f(x) 是闭区间 [a,b]上的连续函数， 设 f(x) 的最大值及最小值分别为 M及 m ，于是
　　m≦f(x)≦M
　　将上式同时在 [a,b]区间内积分，可得　　m(b-a)≦∫下限a 上限 b f(x) dx≦M(b-a)
　　即 m≦∫下限a 上限 b f(x) dx /(b-a)≦M
　　因为 m≦f(x)≦M 是连续函数， 由介值定理，必存在一点 ξ， 使得
　　∫下限a 上限 b f(x) dx /(b-a)= f(ξ)
　　即 ∫下限a 上限 b f(x) dx= f(ξ) (b-a)

积分中值定理