短除法是求最大公因数的一种方法，也可以用来求最小公倍数。求几个数最大公因数的方法，开始时用观察比较的方法，即:先把每个数的因数找出来，然后再找出公因数，最后在公因数中找出最大公因数。后来，使用分解质因数法来分别分解两个数的因数，再进行运算。之后又演变为短除法，一起用质数除，最后再整理。

• 中文名 短除法
• 外文名 Short division
• 符号 把除号倒过来写
• 适用情况 求最大公因数、最小公倍数
• 计算方法 公因数乘一边，公倍数乘一圈

基础知识

　　如果数a能被数ba整除就叫做b的倍数，b就叫做a的约数（因数）。约数和倍数都表示一个数与另一个数的关系，不能单独存在。如只能说16是某数的倍数，2是某数的约数，而不能孤立地说16是倍数，2是约数。

　　"倍"与"倍数"是不同的两个概念，"倍"是指两个数相除的商，它可以是整数、小数或者分数。"倍数"只是在数的整除的范围内，相对于"约数"而言的一个数字的概念，表示的是能被某一个自然数整除的数，它必须是一个自然数。

　　几个自然数，公有的约数，叫做这几个数的公约数;其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数。例如:12、16的公约数有1、2、4，其中最大的一个是4，4是12与16的最大公约数，一般记为(12、16)=4。12、15、18的最大公约数是3，记为(12、15、18)=3。

　　几个自然数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数，其中最小的一做这几个数的最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。例如:4的倍数有4、8、12、16，……，6的倍数有6、12、18、24，……，4和6的公倍数有12、24，……，其中最小的是12，一般记为[4、6]=12。12、15、18的最小公倍数是180。记为[12、15、18]=180。

分解素因数法

　　把每个数分别分解质因数，再把各数中的全部公有质因数提取出来连乘，所得的积就是

　　这几个数的最大公约数。例如:求24和60的最大公约数，先分解质因数，得24=2×2×2×3，60=2×2×3×5，24与60的全部公有的质因数是2、2、3，它们的积是2×2×3=12，

　　所以，(24、60)=12。

　　把几个数先分别分解质因数，再把各数中的全部公有的质因数和独有的质因数提取出来连乘，所得的积就是这几个数的最小公倍数。例如:求6和15的最小公倍数。先分解质因数，得6=2×3，15=3×5，6和15的全部公有的质因数是3，6独有质因数是2，15独有的质因数是5，2×3×5=30，30里面包含6的全部质因数2和3，还包含了15的全部质因数3和5，且30是6和15的公倍数中最小的一个，所以[6，15]=30。

短除法的做法

　　短除法求最大约数，先用这几个数的公约数连续去除，一直除到所有的商互质为止，然后

　　后把所有的除数连乘起来，所得的积就是这几个数的最大公约数。例如，求24、48、60的最大公约数。

　　(24、48、60)=2×3×2=12

　　短除法求最小公倍数，先用这几个数的公约数去除每一个数，再用部分数的公约数去除，并把不能整除的数移下来，一直除到所有的商中每两个数都是互质的为止，然后把所有的除数和商连乘起来，所得的积就是这几个数的最小公倍数，例如，求12、15、18的最小公倍数。

　　(12、15、18)=3×2×2×5×3=180

　　无论是短除法，还是分解质因数法，在质因数较大时，都会觉得困难。这时就需要用新的方法。

基本方法

　　先找出公因数，除以其中一个，把商落下来，之后再除，以此类推，直到结果互质为止(两个数互质)。

公约数和公倍数

　　而在用短除法计算多个数时，对其中任意两个数存在的因数都要算出，其它没有这个因数的数则原样落下。直到剩下每两个都是互质关系。

　　求最大公约数把除数相乘，积就是最大公约数（见图一），求最小公倍数把除数以及除剩下的数相乘，积就是最小公倍数（见图二）。

　　(公约数:亦称"公因数"。是几个整数同时均能整除的整数。如果一个整数同时是几个整数的约数，称这个整数为它们的"公约数";公约数中最大的称为最大公约数。)

举例说明

　　例如:求12与18的最大公因数。以下如有约数出现则为因数

　　短除法例题

　　12的因数有:1、2、3、4、6、12。

　　18的因数有:1、2、3、6、9、18。

　　12与18的公因数有:1、2、3、6。

　　12与18的最大公因数是6。

　　这种方法对求两个以上数的最大公因数数，特别是数目较大的数，显然是不方便的。于是又采用了给每个数分别分解质因数的方法。

　　12=2×2×3

　　18=2×3×3

　　12与18都可以分成几种形式不同的乘积，但分成质因数连乘积就只有以上一种，而且不能再分解了。所分出的质因数无疑都能整除原数，因此这些质因数也都是原数的因数。从分解的结果看，12与18都有公因数2和3，而它们的乘积2×3=6，就是 12与18的最大公因数。

　　采用分解质因数的方法，也是采用短除的形式，只不过是分别短除，然后再找公约数和最大公约数。如果把这两个数合在一起短除，则更容易找出公约数和最大公约数。

　　从短除中不难看出，12与18都有公约数2和3，它们的乘积2×3=6就是12与18的最大公约数。与前边分别分解质因数相比较，可以发现:不仅结果相同，而且短除法竖式左边就是这两个数的公共质因数，而两个数的最大公约数，就是这两个数的公共质因数的连乘积。

　　实际应用中，是把需要计算的两个或多个数放置在一起，进行短除。