在线性代数中，一个矩阵A的列秩是A的线性独立的纵列的极大数目。类似地，行秩是A的线性无关的横行的极大数目。

通俗一点说，如果把矩阵看成一个个行向量或者列向量，秩就是这些行向量或者列向量的秩，也就是极大无关组中所含向量的个数。

• 中文名 矩阵的秩
• 外文名 The Rank of Matrix
• 领    域 线性代数
• 性    质 行秩是A的线性无关极大数目
• 公    式  A=(aij)m×n

概述

　　矩阵的秩是反映矩阵固有特性的一个重要概念。

矩阵的秩

矩阵的秩

矩阵的秩

矩阵的秩

　　设A是一组向量，定义A的最大无关组中向量的个数为A的秩。

　　定义1. 在m*n矩阵A中，任意决定k行和k列交叉点上的元素构成A的一个k阶子矩阵，此子矩阵的行列式，称为A的一个k阶子式。

　　例如，在阶梯形矩阵中，选定1，3行和3，4列，它们交叉点上的元素所组成的2阶子矩阵的行列式就是矩阵A的一个2阶子式。

　　定义2. A=(aij)m×n的不为零的子式的最大阶数称为矩阵A

　　的秩，记作rA，或rankA或R(A)。

　　特别规定零矩阵的秩为零。

　　显然rA≤min(m,n) 易得：

　　若A中至少有一个r阶子式不等于零，且在r<min(m,n)时，A中所有的r+1阶子式全为零，则A的秩为r。

　　由定义直接可得n阶可逆矩阵的秩为n，通常又将可逆矩阵称为满秩矩阵, det(A)&sup1; 0；不满秩矩阵就是奇异矩阵，det(A)=0。

　　由行列式的性质1(1.5[4])知，矩阵A的转置AT的秩与A的秩是一样的。

　　例1. 计算下面矩阵的秩，

　　而A的所有的三阶子式，或有一行为零；或有两行成比例，因而所

　　有的三阶子式全为零，所以rA=2。

矩阵的秩

　　引理设矩阵A=(aij)sxn的列秩等于A的列数n，则A的列秩，秩都等于n。

　　定理矩阵的行秩，列秩，秩都相等。

　　定理初等变换不改变矩阵的秩。

　　定理矩阵的乘积的秩Rab<=min{Ra,Rb};

　　当r(A)<=n-2时，最高阶非零子式的阶数<=n-2，任何n-1阶子式均为零，而伴随阵中的各元素就是n-1阶子式再加上个正负号，所以伴随阵为0矩阵。

　　当r(A)<=n-1时，最高阶非零子式的阶数<=n-1，所以n-1阶子式有可能不为零，所以伴随阵有可能非零（等号成立时伴随阵必为非零）。

矩阵的秩

变化规律

　　(1)转置后秩不变

　　(2)r(A)<=min(m,n),A是m*n型矩阵                                                            

矩阵的秩

　　(3)r(kA)=r(A),k不等于0

　　(4)r(A)=0 <=> A=0

　　(5)r(A+B)<=r(A)+r(B)

　　(6)r(AB)<=min(r(A),r(B))

　　(7)r(A)+r(B)-n<=r(AB)

　　特别的：A:m*n,B:n*s,AB=0 -> r(A)+r(B)<=n

　　(8)P,Q为可逆矩阵, 则 r(PAQ)=r(A)

　　（9）n阶方阵A，若|A|=0，r（A）<n。否则r（A）=n

　　（10）若Ax=B有解，则r（A）=r（A，B）

　　（11）若A~B，则r（A）=r（B）

　　（12）若所有n阶子式为零，则r（A）<t (t为A的逆序数)

　　（13）A中若有S阶非零子式，则r（A）>=S