代数式包括有理式(整式，分式)和无理式。在线性代数中用矩阵(向量)代替代数式中的实数，得到的代数式称为矩阵代数式。矩阵代数式遵守代数式的规律，同时具备特殊规律。

• 中文名 矩阵代数式
• 应用学科 数学
• 适用领域范围 理式(整式，分式)和无理式

矩阵代数式简介

　　根据矩阵的性质，矩阵代数式的使用范围不同。例如相似矩阵代数式只能在相似矩阵之间使用。对等价，相似，合同矩阵代数式，加单位矩阵(或者常量矩阵)，不改变矩阵性质，等式仍然成立。矩阵等式"除法"用两端乘以逆矩阵实现，要求矩阵(因式)可逆。

相似矩阵代数式

　　矩阵的相似变换(两端)定义式:

　　若A ~ B，则(P^-1)AP=B

　　推理:矩阵A的复合表示形式的相似变换:

　　.1线性计算式:(P^-1)AP=P^(-1)(lB+kC)P=l(P^-1)BP+k(P^-1)CP

　　.2矩阵乘法式:(P^-1)AP=(P^-1)BCP=((P^-1)BP)((P^-1)CP)

　　说明:相似变换符合对矩阵线性计算与乘法的分配律

　　定理 相似矩阵的性质

　　.1数量性:①det(P^-1)AP=det(P^-1)*detP*detA=detB∴detA=detB

　　② |λE-A|=|λE-B|

　　③ 相似矩阵的特征值相同

　　④相似矩阵的迹相同(=∑λi用在对角矩阵的全部特征值)

　　.2秩:⑤相似矩阵(等价)的秩相同。

　　.3伴随矩阵集:⑥A^-1 ~ B^-1

　　⑦A^T ~ B^T

　　.4矩阵计算

　　⑧与常量矩阵加法运算的相似不变性

　　任给实数t， tE-A ~ tE-B

　　⑨幂的相似不变性 A^k ~ B^k

　　.5构造分块矩阵

　　⑩两对相似矩阵可分别构造两个对角线分块矩阵，保持相似不变性。

　　说明:①|λE-A|=|λE-B| ，但是λE-A=λE-B(-A=-B)不成立。

　　②相似矩阵的特征值相同，但是特征向量不同。 实际上，矩阵的相似变换是通过特征向量之间的可逆变换实现的。

　　③不一定每一个划分相似集合中都有对角矩阵。因此A ~ B不一定能都相似一个对角矩阵。

实对称矩阵代数式

　　定义式:①A=A^T，A是实对称矩阵。

　　定理 实对称矩阵的性质

　　.1②(A^-1)= (A^-1)^T, A^T, A^*同理。

　　.2③kA=k(A^T),A+B=(A+B)^T

　　.3④矩阵 与转置矩阵的相乘得对称矩阵:

　　A(A^T)= (A(A^T))^T，同理:(A^T)A。

　　所以，对称矩阵都是方阵。

　　定理 实对称矩阵的正交相似性

　　任意一个实对称矩阵，一定相似正交与一个实对角矩阵。即存在一个正交矩阵Q，使得

　　⑤ (Q^T)AQ= (Q^-1)AQ= Λ

　　说明: 是T的特征值构成的对角形矩阵。

　　定理 实对称矩阵的正定性

　　实对称矩阵A正定的充要条件是存在可逆矩阵C，使

　　⑥(C^T)AC=E

　　定理 实对称矩阵正定的充要条件

　　.1 ⑦全部特征值>0

　　⑧|A|>0

　　⑨各阶顺序主子式 >0

　　.2构造(分解表示形式)

　　⑩A=(P^T)P，P可逆(根据⑥)。

　　存在正交矩阵Q,与对角矩阵合同且相似.

　　⑤ (Q^T)AQ= (Q^-1)AQ= Λ

　　.3 A的正惯性指数为n

　　说明:正定矩阵一定是对称矩阵.

　　定理 正定矩阵(实对称矩阵类)的性质

　　.1计算特性

　　kA,A^T,A^-1,A^*都是实对称正定矩阵.

　　说明:这四个矩阵都可写出⑤,⑦~⑩.

　　参考文献:

　　1陆剑虹,线性代数，南京航空航天大学，1987.

　　2黄先开等，考研数学参考书，人民大学出版社，2008.