相关表和相关图可反映两个变量之间的相互关系及其相关方向，但无法确切地表明两个变量之间相关的程度。于是，著名统计学家卡尔·皮尔逊设计了统计指标--相关系数(Correlation coefficient)。相关系数是用以反映变量之间相关关系密切程度的统计指标。相关系数是按积差方法计算，同样以两变量与各自平均值的离差为基础，通过两个离差相乘来反映两变量之间相关程度;着重研究线性的单相关系数。

依据相关现象之间的不同特征，其统计指标的名称有所不同。如将反映两变量间线性相关关系的统计指标称为相关系数(相关系数的平方称为判定系数);将反映两变量间曲线相关关系的统计指标称为非线性相关系数、非线性判定系数;将反映多元线性相关关系的统计指标称为复相关系数、复判定系数等。

• 中文名 相关系数
• 外文名 Correlation coefficient
• 方法计算 按积差
• 定 义 简单、典型、复相

定义

　　相关关系是一种非确定性的关系，相关系数是研究变量之间线性相关程度的量。由于研究对象的不同，相关系数有如下几种定义方式。

　　简单相关系数:又叫相关系数或线性相关系数，一般用字母r 表示，用来度量两个变量间的线性关系。

相关系数

　　复相关系数:又叫多重相关系数。复相关是指因变量与多个自变量之间的相关关系。例如，某种商品的季节性需求量与其价格水平、职工收入水平等现象之间呈现复相关关系。

　　典型相关系数:是先对原来各组变量进行主成分分析，得到新的线性关系的综合指标，再通过综合指标之间的线性相关系数来研究原各组变量间相关关系。

性质

　　(1)定理: | ρXY | = 1的充要条件是，存在常数a，b，使得P{Y=a+bX}=1;

　　相关系数ρXY取值在-1到1之间，ρXY = 0时，

　　称X,Y不相关; | ρXY | = 1时，称X,Y完全相关，此时，X,Y之间具有线性函数关系; | ρXY | < 1时，X的变动引起Y的部分变动，ρXY的绝对值越大，X的变动引起Y的变动就越大， | ρXY | > 0.8时称为高度相关，当 | ρXY | < 0.3时称为低度相关，其它时候为中度相关。

　　(2)推论:若Y=a+bX，则有

　　证明: 令E(X) = μ，D(X) = σ

　　则E(Y) = bμ + a，D(Y) = bσ

　　E(XY) = E(aX + bX) = aμ + b(σ + μ)

　　Cov(X,Y) = E(XY) − E(X)E(Y) = bσ

　　若b≠0，则ρXY ≠ 0。

　　若b=0，则ρXY = 0。

　　软件公司在全国有许多代理商，为研究它的财务软件产品的广告投入与销售额的关系，统计人员随机选择10家代理商进行观察，搜集到年广告投入费和月平均销售额的数据，并编制成相关表，见表1:

　　表1 广告费与月平均销售额相关表 单位:万元

　　参照表1，可计算相关系数如表2:

序号	广告投入(万元) 　　x	月均销售额(万元) 　　y
1 　　2 　　3 　　4 　　5 　　6 　　7 　　8 　　9 　　10	12.5 　　15.3 　　23.2 　　26.4 　　33.5 　　34.4 　　39.4 　　45.2 　　55.4 　　60.9	21.2 　　23.9 　　32.9 　　34.1 　　42.5 　　43.2 　　49.0 　　52.8 　　59.4 　　63.5	156.25 　　234.09 　　538.24 　　696.96 　　1122.25 　　1183.36 　　1552.36 　　2043.04 　　3069.16 　　3708.81	449.44 　　571.21 　　1082.41 　　1162.81 　　1806.25 　　1866.24 　　2401.00 　　2787.84 　　3528.36 　　4032.25	265.00 　　365.67 　　763.28 　　900.24 　　1423.75 　　1486.08 　　1930.60 　　2386.56 　　3290.76 　　3867.15
合计	346.2	422.5	14304.52	19687.81	16679.09

　　相关系数为0.9942，说明广告投入费与月平均销售额之间有高度的线性正相关关系。

应用

　　例1.若将一枚硬币抛n次，X表示n次试验中出现正面的次数，Y表示n次试验中出现反面的次数。计算ρXY。

　　解:由于X+Y=n，则Y=-X+n，根据相关系数的性质推论，得ρXY = − 1。

　　例2.已知随机变量X、Y分别服从正态分布N(1，9)，N(0，16)且X，Y的相关系数

　　设，求证X，Z相互独立。

　　证明:由已知得E(X)=1，D(X)=9，E(Y)= 0，D(Y) = 16

　　由于正态分布的随机变量的线性组合仍然服从正态分布，知Z是正态变量。

　　根据数学期望的性质有

　　根据方差的性质有得

　　由于 E(XY) = Cov(X,Y) + E(X)E(Y) = − 6，

　　E(X) = D(X) + [E(X)] = 10

　　ρXZ = 0，X，Z不相关。

　　由于正态随机变量的相互独立与互不相关等价，故X,Z相互独立。

　　因此，一般情况下两个随机变量不相关不一定相互独立。不相关仅指随机变量之间没有线性关系，而相互独立则表明随机变量之间互不影响，没有关系。

　　【例】一种新产品上市。在上市之前，公司的物流部需把新产品合理分配到全国的10个仓库，新品上市一个月后，要评估实际分配方案与之前考虑的其他分配方案中，是实际分配方案好还是其中尚未使用的分配方案更好，通过这样的评估，可以在下一次的新产品上市使用更准确的产品分配方案，以避免由于分配而产生的积压和断货。表1是根据实际数据所列的数表。

　　通过计算，很容易得出这3个分配方案中，B的相关系数是最大的，这样就评估到B的分配方案比实际分配方案A更好，在下一次的新产品上市分配计划中，就可以考虑用B这种分配方法来计算实际分配方案。

　　【例】如果有若干个样品，每个样品有n个特征，则相关系数可以表示两个样品间的相似程度。借此，可以对样品的亲疏远近进行距离聚类。例如9个小麦品种(分别用A1,A2,...,A9表示)的6个性状资料见表2，作相关系数计算并检验。

　　由相关系数计算公式可计算出6个性状间的相关系数，分析及检验结果见表3。由表3可以看出，冬季分蘖与每穗粒数之间呈现负相关(ρ = − 0.8982)，即麦冬季分蘖越多，那么每穗的小麦粒数越少，其他性状之间的关系不显著。

缺点

　　需要指出的是，相关系数有一个明显的缺点，即它接近于1的程度与数据组数n相关，这容易给人一种假象。因为，当n较小时，相关系数的波动较大，对有些样本相关系数的绝对值易接近于1;当n较大时，相关系数的绝对值容易偏小。特别是当n=2时，相关系数的绝对值总为1。因此在样本容量n较小时，我们仅凭相关系数较大就判定变量x与y之间有密切的线性关系是不妥当的。

　　例如，就我国深沪两股市资产负债率与每股收益之间的相关关系做研究。发现1999年资产负债率前40名的上市公司，二者的相关系数为r=–0.6139;资产负债率后20名的上市公司，二者的相关系数r=0.1072;而对于沪、深全部上市公司(基金除外)结果却是，r沪=–0.5509，r深=–0.4361，根据三级划分方法，两变量为显著性相关。这也说明仅凭r的计算值大小判断相关程度有一定的缺陷。