• 中文名 直角三角形斜边中线定理
• 内容 斜边上的中线等于斜边的一半
• 前提 三角形是直角三角形
• 领域 数学
• 逆命题1 成立

定义

　　如果一个三角形是直角三角形,那么这个三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

直角三角形斜边中线定理

​证明

　　如右图，过点B作CB的垂线与CE的延长线交于D点

　　∵∠ACB=∠DBC=90°

　　∴AC∥BD（同旁内角互补，两直线平行）

　　∴∠CAB=∠ABD

　　在△ACE和△BDE中

　　∠CAB=∠ABD

　　AE=EB

　　∠AEC=∠DEB

　　∴△ACE≌△BDE（A.S.A)

　　∴AC=DB,CE=DE

　　∴在△ACB和△DBC中

　　AC=DB

　　∠ACB=∠DBC

　　CB=BC

　　∴△ACB≌△DBC（S.A.S)

　　∴∠ECB=∠ABC

　　∴CE=BE=AE

　　方法二

　　如右图

　　延长CE至点D,使CE=DE,连接AD.BD         

证法二图

　　∵CE是AB上的中线

　　∴AE=EB

　　∵CE=DE

　　∴四边形ABCD是平行四边形

　　∵∠ACB=90°

　　∴平行四边形ABCD是矩形

　　∴AB=CD,AE=BE,CE=DE

　　∴AE=BE=CE=DE

　　∴CE=1/2 CD=1/2 AB

逆命题

 逆命题1

　　原命题1：如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

　　逆命题1:如果一个三角形一条边的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形，且这条边为直角三角形的斜边。

　　逆命题1是正确的。以该条边的中点为圆心，以中线长为半径作圆，则该边成为圆的直径，该三角形的另一个顶点在圆上，该顶角为圆周角。因为直径上的圆周角是直角，所以逆命题1成立。

 逆命题2

　　原命题2：如图，如果BD是直角三角形ABC斜边AC上的中线，那么它等于AC的一半。

　　逆命题2：如果线段BD的一端B是直角三角形ABC的顶点，另一端D在斜边AC上，且BD等于AC的一半，那么BD是斜边AC的中线。

　　逆命题2是不成立的。举一个反例。设直角三角形三边长分别为AB=3，BC=4，AC=5。斜边的一半长为2.5,斜边上的高BE=（3*4）/5=2.4,在线段AE上上必能找到一点D，使BD=2.5，但BD并不是AC边的中线，因为AC边的中点在线段EC上。

　　逆命题2的反例证法：

　　ΔABC是直角三角形，作AB的垂直平分线n交BC于D∴AD=BD（线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等）以DB为半径，D为圆心画弧，与BC在D的另一侧交于C'∴DC’=AD=BD∴∠BAD=∠ABD ∠C’AD=∠AC’D （等边对等角）又∵∠BAD+∠BDA+∠C’AD+∠AC’D =180°（三角形内角和定理） ∴∠BAD+∠C’AD=90° 即：∠BAC’=90°又∵∠BAC=90° ∴∠BAC=∠BAC’ ∴C与C’重合（也可用垂直公理证明 ：假使C与C’不重合 由于CA⊥AB，C’A⊥AB 故过A有CA、C’A两条直线与AB垂直 这就与垂直公理矛盾 ∴假设不成立 ∴C与C’重合）∴DC=AD=BD∴AD是BC上的中线且AD=BC/2这就是直角三角形斜边上的中线定理

　　证法2：

　　ΔABC是直角三角形，AD是BC上的中线，作AB的中点E，连接DE∴BD=CB/2，DE是ΔABC的中位线∴DE‖AC（三角形的中位线平行于第三边）∴∠DEB=∠CAB=90°（两直线平行，同位角相等）∴DE⊥AB ∴n是AB的垂直平分线∴AD=BD（线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等）∴AD=CB/2