牛顿迭代法（Newton's method）又称为牛顿-拉弗森方法（Newton-Raphson method），它是一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。方法使用函数的泰勒级数的前面几项来寻找方程的根。

• 中文名 牛顿迭代法
• 外文名 Newton's method
• 别称 牛顿-拉弗森方法
• 提出时间 17世纪

基本简介

　　牛顿迭代法（Newton's method）又称为牛顿-拉夫逊方法（Newton-Raphson method），它是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。多数方程不存在求根公式，因此求精确根非常困难，甚至不可能，从而寻找方程的近似根就显得特别重要。

牛顿迭代法

　　方法使用函数f(x）的泰勒级数的前面几项来寻找方程f(x) = 0的根。牛顿迭代法是求方程根的重要方法之一，其最大优点是在方程f(x) = 0的单根附近具有平方收敛，而且该法还可以用来求方程的重根、复根，此时线性收敛，但是可通过一些方法变成超线性收敛。另外该方法广泛用于计算机编程中。

计算公式

　　设r是f(x) = 0的根，选取x0作为r初始近似值，过点（x0,f(x0））做曲线y = f(x）的切线L，L的方程为y = f(x0)+f'(x0)(x-x0），求出L与x轴交点的横坐标 x1 = x0-f(x0)/f'(x0），称x1为r的一次近似值。过点（x1,f(x1））做曲线y = f(x）的切线，并求该切线与x轴交点的横坐标 x2 = x1-f(x1）/f'(x1），称x2为r的二次近似值。重复以上过程，得r的近似值序列，其中x(n+1）=x(n）－f(x(n))/f'(x(n)），称为r的n+1次近似值，上式称为牛顿迭代公式。

　　解非线性方程f(x)=0的牛顿法是把非线性方程线性化的一种近似方法。把f(x）在x0点附近展开成泰勒级数 f(x) = f(x0)+(x－x0)f'(x0)+(x－x0)^2*f''(x0)/2! +… 取其线性部分，作为非线性方程f(x) = 0的近似方程，即泰勒展开的前两项，则有f(x0)+f'(x0)(x－x0)=0 设f'(x0）≠0则其解为x1=x0－f(x0)/f'(x0) 这样，得到牛顿法的一个迭代序列：x(n+1）=x(n）－f(x(n))/f'(x(n)）。

　　已经证明，如果是连续的，并且待求的零点是孤立的，那么在零点周围存在一个区域，只要初始值位于这个邻近区域内，那么牛顿法必定收敛。 并且，如果不为0, 那么牛顿法将具有平方收敛的性能. 粗略的说，这意味着每迭代一次，牛顿法结果的有效数字将增加一倍。

　　军人在进攻时常采用交替掩护进攻的方式，若在数轴上的点表示A，B两人的位置，规定在前面的数大于后面的数，则是A>B，B>A交替出现。但现在假设军中有一个胆小鬼，同时大家又都很照顾他，每次冲锋都是让他跟在后面，每当前面的人占据一个新的位置，就把位置交给他，然后其他人再往前占领新的位置。也就是A始终在B的前面，A向前迈进，B跟上，A把自己的位置交给B（即执行B = A操作），然后A 再前进占领新的位置，B再跟上……直到占领所有的阵地，前进结束。像这种两个数一前一后逐步向某个位置逼近的方法称之为迭代法。

牛顿迭代法

　　迭代法也称辗转法，是一种不断用变量的旧值递推新值的过程，跟迭代法相对应的是直接法（或者称为一次解法），即一次性解决问题。迭代算法是用计算机解决问题的一种基该方法。它利用计算机运算速度快、适合做重复性操作的特点，让计算机对一组指令（或一定步骤）进行重复执行，在每次执行这组指令（或这些步骤）时，都从变量的原值推出它的一个新值。

　　利用迭代算法解决问题，需要做好以下三个方面的工作：

　　一、确定迭代变量。在可以用迭代算法解决的问题中，至少存在一个直接或间接地不断由旧值递推出新值的变量，这个变量就是迭代变量。

　　二、建立迭代关系式。所谓迭代关系式，指如何从变量的前一个值推出其下一个值的公式（或关系）。迭代关系式的建立是解决迭代问题的关键，通常可以使用递推或倒推的方法来完成。

　　三、对迭代过程进行控制。在什么时候结束迭代过程？这是编写迭代程序必须考虑的问题。不能让迭代过程无休止地重复执行下去。迭代过程的控制通常可分为两种情况：一种是所需的迭代次数是个确定的值，可以计算出来；另一种是所需的迭代次数无法确定。对于前一种情况，可以构建一个固定次数的循环来实现对迭代过程的控制；对于后一种情况，需要进一步分析出用来结束迭代过程的条件。

　　最经典的迭代算法是欧几里德算法，用于计算两个整数a,b的最大公约数。其计算原理依赖于下面的定理：

牛顿迭代法

　　定理：gcd(a,b) = gcd(b,a mod b)

　　证明：a可以表示成a = kb + r，则r = a mod b。假设d是a,b的一个公约数，则有 a%d==0,b%d==0，而r = a - kb，因此r%d==0 ，因此d是（b,a mod b）的公约数

　　同理，假设d 是（b,a mod b）的公约数，则 b%d==0,r%d==0 ，但是a = kb +r ，因此d也是（a,b）的公约数。

　　因此（a,b）和（b,a mod b）的公约数是一样的，其最大公约数也必然相等，得证。

　　欧几里德算法就是根据这个原理来做的，欧几里德算法又叫辗转相除法，它是一个反复迭代执行，直到余数等于0停止的步骤，这实际上是一个循环结构。其算法用C语言描述为：

　　int Gcd_2(int a,int b)// 欧几里德算法求a,b的最大公约数

　　if (a<=0 || b<=0)//预防错误

　　return 0;

　　int temp;

　　while (b > 0)//b总是表示较小的那个数，若不是则交换a，b的值

　　temp = a % b;//迭代关系式

　　a = b; //是那个胆小鬼，始终跟在b的后面

　　b = temp; //向前冲锋占领新的位置

　　return a;

　　从上面的程序我们可以看到a，b是迭代变量，迭代关系是temp = a % b；根据迭代关系我们可以由旧值推出新值，然后循环执a = b; b = temp；直到迭代过程结束（余数为0）。在这里a好比那个胆小鬼，总是从b手中接过位置，而b则是那个努力向前冲的先锋。

　　还有一个很典型的例子是斐波那契（Fibonacci）数列。斐波那契数列为：0、1、1、2、3、5、8、13、21、…，即 fib⑴=0; fib⑵=1;fib(n)=fib(n-1）+fib(n-2） （当n>2时）。

　　在n>2时，fib(n）总可以由fib(n-1）和fib(n-2）得到，由旧值递推出新值，这是一个典型的迭代关系，所以我们可以考虑迭代算法。

　　int Fib(int n) //斐波那契（Fibonacci）数列

　　if (n < 1）//预防错误

　　return 0;

　　if (n == 1 || n == 2）//特殊值，无需迭代

　　return 1;

　　int f1 = 1,f2 = 1,fn;//迭代变量

　　int i;

　　for(i=3; i<=n; ++i)//用i的值来限制迭代的次数

　　fn = f1 + f2; //迭代关系式

　　f1 = f2;//f1和f2迭代前进，其中f2在f1的前面

　　f2 = fn;

　　return fn;

C语言代码

　　double func(double x) //函数 　　

　　return x*x*x*x-3*x*x*x+1.5*x*x-4.0;　　

　　double func1(double x) //导函数 　　

　　return 4*x*x*x-9*x*x+3*x;　　

　　int Newton(double *x,double precision,int maxcyc) //迭代次数 　　

　　{double x1,x0;　　int k;　　x0=*x;　　for(k=0;k<maxcyc;k++)　　

　　{if(func1(x0)==0.0)//若通过初值，函数返回值为0　　

　　{　printf("迭代过程中导数为0!n");　　

　　return 0;}　　

　　x1=x0-func(x0)/func1(x0);//进行牛顿迭代计算 　　if(fabs(x1-x0)<precision || fabs(func(x1））<precision) //达到结束条件 　　

　　{　*x=x1; //返回结果 　　return 1;　　

　　}　else //未达到结束条件 　　x0=x1; //准备下一次迭代 　　

　　}　printf("迭代次数超过预期！n"); //迭代次数达到，仍没有达到精度　　

　　return 0;　}　int main()　　

　　{　double x,precision;　　int maxcyc;　　printf("输入初始迭代值x0:");　　

　　scanf("%lf",&x); 　　

　　printf("输入最大迭代次数："); 　　

　　scanf("%d",&maxcyc);　　

　　printf("迭代要求的精度：");　　

　　scanf("%lf",&precision);　　

　　if(Newton(&x,precision,maxcyc)==1） //若函数返回值为1 　　

　　printf("该值附近的根为：%lfn",x);　　

　　else //若函数返回值为0 　　

　　printf("迭代失败！n");　　

　　getch();　　

　　return 0;　　}

C加加代码

　　//此函数是用来求3元一次方程ax^3+bx^2+cx+d=0的解

　　//比如 x^3-27=0，我们就可以输入1 0 0 -27，这样我们就可以得到一个解

　　#include<iostream>

　　#include<cmath>

　　using namespace std;

　　int main()

　　{double diedai(double a,double b,double c,double d,double x);

　　double a,b,c,d;

　　double x=10000.0;

　　cout<<"请依次输入方程四个系数：";

　　cin>>a>>b>>c>>d;

　　x=diedai(a,b,c,d,x);

　　cout<<x<<endl;

　　return 0;}

　　double diedai(double a,double b,double c,double d,double x)

　　{while(abs(a*x*x*x+b*x*x+c*x+d)>0.000001）

　　{x=x-(a*x*x*x+b*x*x+c*x+d)/（3*a*x*x+2*b*x+c);

　　}return x;}

matlab

定义函数

　　function y=f(x)

　　y=f(x）；%函数f(x）的表达式

　　function z=h(x)

　　z=h(x）；%函数h(x）的表达式

主程序

　　x=X;%迭代初值

　　i=0;%迭代次数计算

　　while i<= I%迭代次数

　　x0=X-f(X)/h(X);%牛顿迭代格式

　　if abs(x0-X)>；ε；%收敛判断

　　X=x0;

　　else break

　　end

　　i=i+1;

　　end

　　fprintf('n%s%.4ft%s%d'，'X='，X，'i='，i) %输出结果

Python

　　Python代码以实例展示求解f(x) = (x-3）**3，f(x) = 0 的根。def f(x):

　　return (x-3）**3 ’''定义f(x) = (x-3）**3'''

　　def fd(x):

　　return 3*((x-3）**2） ’''定义f'(x) = 3*((x-3）**2）

　　def newtonMethod(n,assum):

　　time = n

　　x = assum

　　Next = 0

　　A = f(x)

　　B = fd(x)

　　print('A = ' + str(A) + ',B = ' + str(B) + ',time = ' + str(time))

　　if f(x) == 0.0:

　　return time,x

　　else:

　　Next = x - A/B

　　print('Next x = '+ str(Next))

　　if A == f(Next): print('Meet f(x) = 0,x = ' + str(Next)) ’''设置迭代跳出条件，同时输出满足f(x) = 0的x值'''

　　else:

　　returnnewtonMethod(n+1,Next)

　　newtonMethod(0,4.0) ’''设置从0开始计数，x0 = 4.0'''