插值法利用函数f(x)在某区间中若干点的函数值，作出适当的特定函数，在这些点上取已知值，在区间的其他点上用这特定函数的值作为函数f(x)的近似值。

牛顿插值法相对于拉格朗日插值法具有承袭性的优势，即在增加额外的插值点时，可以利用之前的运算结果以降低运算量。

• 中文名称 牛顿插值法
• 外文名称 Newton interpolation
• 类别 插值法
• 特点 唯一性
• 方法 各阶差商

　　如果这特定函数是多项式，就称它为插值多项式。利用插值基函数很容易得到拉格朗日插值多项式，公式结构紧凑，在理论分析中甚为方便，但当插值节点增减时全部插值基函数均要随之变化，整个公式也将发生变化，这在实际计算中是很不方便的，为了克服这一缺点，提出了牛顿插值。

　　牛顿插值法的特点在于:每增加一个点，不会导致之前的重新计算，只需要算和新增点有关的就可以了。

　　假设已知n+1n+1个点相对多项式函数ff的值为:(x0,f(x0)),(x1,f(x1)),(x2,f(x2)),⋯,(xn,f(xn))，求此多项式函数f。

　　先从求满足两个点(x0,f(x0)),(x1,f(x1))的函数f1(x)说起:

　　假设f1(x)=f(x0)+b1(x−x0)f1(x)=f(x0)+b1(x−x0)，

　　我们增加一个点，(x0,f(x0)),(x1,f(x1)),(x2,f(x2))，求满足这三个点的函数f2(x):

　　假设f2(x)=f1(x)+b2(x−x0)(x−x1)，

　　以此类推，我们得到牛顿插值法为: