泰勒级数的定义 若函数f（x）在点的某一邻域内具有直到（n+1）阶导数，则在该邻域内f（x）的n阶泰勒公式为： f(x)=f(x0)+f`( x0)(x- x0)+f``( x0)(x-x0)²/2!+f```( x0)(x- x0)³/3!+...fn(x0)(x- x0)n/n!+.... 其中：fn(x0)(x- x0)n/n!，称为拉格朗日余项。 以上函数展开式称为泰勒级数。 泰勒级数在近似计算中有重要作用。

• 中文名 泰勒级数
• 外文名 Taylor's series
• 类别 数学函数

正文

　　解析函数的一类幂级数展开式。在圆|z－α|<R内解析的函数ƒ(z)可以展为以下形式的幂级数 (1)

　　级数(1)称为函数ƒ(z)在点z=α的泰勒级数。当α=0时,称为马克劳林级数。

　　设z是圆│-α│<R内的任意一点,作圆γ;|-α|=r<R使得z位于γ的内部。根据柯西公式得到 (2)

　　因为 ，

　　并且右边的级数在γ上一致收敛，所以将此式代入(2)式，逐项积分后就得到 ， (3)

　　式中 。 (4)

　　零点 若ƒ(α)=ƒ′(α)=…=ƒ(α)=0,ƒ(α)≠0,则称α是ƒ（z）的一个m级零点。特别地，若m=1，则称α是ƒ(z)的一个简单零点。

　　根据解析函数可以展为泰勒级数的上述事实，可以得到解析函数以下两个重要性质。

　　① 零点的孤立性若ƒ(z)是域D内不恒为零的解析函数,则ƒ(z)在D内的零点是孤立的。也就是说,若ƒ(α)=0 (α∈D),则存在α的一个邻域，使得ƒ(z)在该邻域内除α点外没有其他零点。

　　② 惟一性定理 设ƒ₁(z),ƒ₂(z)是域D内的两个解析函数，若存在点集A嶅D，它有一个属于D的极限点α，且在A上ƒ₁(z)=ƒ₂(z),则在D内ƒ₁(z)=ƒ₂(z)。惟一性定理可由零点孤立性推出。

　　柯西不等式若函数 ƒ(z)在圆│z-α│<R内是解析的,且│ƒ(z)│≤M,则ƒ(z)在圆│z-α│<R内的泰勒级数的系数с_n满足不等式 (5)

　　事实上，由(4)式得 ，

　　令r→R，就得到(5)式。

　　刘维尔定理若ƒ(z)是有穷复平面上的有界解析函数，则ƒ(z)必为常数。

　　事实上,这时(3)式在圆|z-α|<R内成立，R是任意正数，由柯西不等式立即推出с_n＝0(n≥1)即ƒ(z)呏с₀(常数)。