• 中文名 增根
• 外文名 extraneous root
• 分类 数学用语
• 定义 在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根。

基本介绍

　　增根是一个数学用语，其定义为在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根。

　　增根（extraneous root ），在分式方程化为整式方程的过程时，若整式方程的根使最简公分母为0，（根使整式方程成立，而在分式方程中分母为0）那么这个根叫做原分式方程的增根

　　增根≠无解

发展来源

　　对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取那些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件。当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根。

　　（1）分式方程（2）无理方程

增根

增根介绍

　　在分式方程化为整式方程的过程中，若整式方程的根使最简公分母为0，（根使整式方程成立，而在分式方程中分母为0）那么这个根叫做原分式方程的增根

举例一

　　x/（x-2)-2/(x-2)=0

　　解：去分母，x-2=0

　　x=2

　　但是X=2使X-2和X^2-4等于0（无意义）,所以X=2是增根。

　　分式方程两边都乘以最简公分母化分式方程为整公分母的值不为0，则此解是分式方程的解，若最简公分母的值为0，则此解是增根。

举例二

　　设方程 A(x)=0 是由方程 B(x)=0 变形得来的,如果这两个方程的根完全相同(包括重数),那么称这两个方程等价.如果 x=a 是方程 A(x)=0 的根但不是B(x)=0 的根,称 x=a 是方程的增根;如果x=b 是方程B(x)=0 的根但不是A(x)=0 的根,称x=b 是方程B(x)=0 的失根.

增根相关

非函数方程增根介绍

　　在两非函数方程（如圆锥曲线）联立求解的过程中，增根的出现主要表现在定义域的变化上。

　　例如：若已知椭圆(x^2)/a^2+(y^2)/b^2=1(a>b>0)，O为原点坐标，A为椭圆右顶点，若椭圆上存在一点P，使OP⊥PA，求椭圆的圆心率的范围。

　　存在一种解法：

　　椭圆上存在一点P，使OP⊥PA，即是以OA为直径画圆，要求与椭圆有除了A(a,0)以外的另外一个解。所以联立椭圆和圆的方程：

　　(x^2)/a^2+(y^2)/b^2=1

　　(x-a/2)^2+y^2=(a/2)^2→x^2+y^2-ax=0

　　→b^2·x^2+a^2(ax-x^2)-a^2·b^2=0 （*）

　　因为有两个根，所以△>0

　　∴△=(2b^2-a^2)>0

　　∴e≠（1/2）^(1/2) （二分之根号二）

　　而正解却是

　　由（*）得 x1=a x2=a·b^2/c^2

　　∴0<x2<a

　　∴（1/2）^(1/2)<e<1

　　然而问题出在，无论怎么取，只要e≠(1/2）^(1/2)，好像△永远都>0

　　于是我们取e=1/2

　　假设 a^2=4 b^2=3 c^2=1

　　即可得椭圆(x^2)/4+(y^2)/3=1···①

　　与圆x^2+y^2-2x=0···②

　　联立即可得 x^2-8x+12=0 ···(*)

　　有十字相乘 x1=2 x2=6

　　显然 此时 x2=6是增根

　　将x2=6 带入①式 y^2= -24

　　将x2=6 带入②式 y^2= -24

　　将x2=6 带入(*)式 y^2=2x-x^2= -24

　　可知这里的的确确是产生了一个增根，而且在解题过程中不能通过任何方式排除，这说明多个非函数方程联立求解时，方程本身无法限制x的取值。一般来说，直线与圆锥曲线的联立并没有出现过算出两个解，还需要带回去验根的情况，大概是因为圆锥曲线不是函数，而直线是函数的原因。

　　不过值得注意的是：

　　①不是任何的两个非函数方程联立都会产生增根。例如圆不是函数，但求两个圆的交点，不会产生增根。

　　②增根的产生和定义域有关系，但没有绝对的关系。不能说联立方程时，将x定义域扩大或缩小就必然会引起增根。如上述例题中，①式定义域（-2，2） ②式定义域（0，2）大多数人是在②式中，用x表示y，写成y=ax-x^2，再带入①式，产生了增根。但是如果我们在①式中用x表示y，写成y^2=b^2(1-x^2/a^2)，再带入②式，我们依然会得到增根。

　　下面列出两种必然会出现增根的一般式：

　　①椭圆与抛物线

　　椭圆(x^2)/a^2+(y^2)/b^2=1(a>b>0)和抛物线y^2=2px(p>0)联立方程式得

　　b^2·x^2+a^2(2px)-a^2·b^2=0

　　由韦达定理得 x1·x2=(-a^2·b^2)/b^2=-a^2<0 且 x1+x2=-2a^2·p/b^2<0

　　可知，若x1>0，则x2<0，出现原因是忽略了y^2=2px(p>0)中的隐含定义域x>0。联立方程式求解误认为x∈R 。（另外我们还知道|x1|<|x2|）

　　②双曲线与抛物线

　　双曲线(x^2)/a^2-(y^2)/b^2=1(a,b>0)和抛物线y^2=2px(p>0)联立方程式得

　　b^2·x^2-a^2(2px)-a^2·b^2=0

　　由韦达定理得 x1·x2=(-a^2·b^2)/b^2=-a^2<0 且 x1+x2=2a^2·p/b^2>0

　　可知，若x1>0，则x2<0，出现原因是忽略了y^2=2px(p>0)中的隐含定义域x>0。联立方程式求解误认为x∈R 。（另外我们还知道|x1|>|x2|）

无理数方程增根介绍

　　√ （2X^2-X-12）=X

　　解：两边平方得2X^2-X-12=X^2

　　得X^2-X-12=0

　　得X=4或X=-3(增根）

　　出现增根的原因是由于两边平方忽略了上式的X>0且根号内的值大于等于0.由于同样的粗心，错误还会在无理不等式中体现

如何求增根

　　解分式方程时什么根，往往是由于违反了方程的同解原理或对方程变形时粗心大意造成的。

　　1. 如果不遵从同解原理，即使解整式方程也可能出现增根．例如将方程x－2=0的两边都乘x，变形成x（x－2）=0，方程两边所乘的最简公分母，看其是否为0，是0即为增根。

　　还可以把x代入最简公分母也可。

无解和增根的区别和关系

　　方程有增根和方程无解并不相同

　　例如方程X²=-1，显然无解。但此时方程并没有增根 

　　再如方程（X²-2X-3）/（X+1）=0，通过去分母可以得到 X²-2X-3=0 

　　（X+1）（X-3）=0 

　　X1=-1，X2=3 

　　显然X=-1是增根，但X=3可以使用。因此方程有解 

　　也就是说，方程有增根时不一定无解，只要方程还有其他的根不是增根；方程无解时也不一定有增根。只有在方程的根只有增根的情况下，有增根和无解才能画等号.

　　增根属于无解的情况。 增根是指使分母为0的根。 无解还有另一种情况就是方程经过变形之后变成了一个恒不等式。

　　增根是不可忽视性

　　许多人解方程时，得到了增根，比如说能量是负值，一般的人都会将这个忽视掉，但这些值是挺令人寻味的。著名的物理学家狄拉克利用相对论、量子力学寻找粒子的能量时，他发现某个粒子的能量和其动量紧密相关，即E2=p2+m2（p为动量，m为粒子的质量），解得E=±（p2+m2）^&frac12;,你肯定想保留正根，因为你知道能量不会是负值，但数学家们告诉狄拉克，你不能忽略负值，因为数学告诉我有两个根，你不能随便丢掉。

　　后来事实证明，第二个根，也就是为负的那个根，正是理论的关键：世界上既有粒子，也有反粒子。负能量就是用来解释反粒子的。