椭圆的焦点三角形是指以椭圆的两个焦点F1,F2与椭圆上任意一点P为定点组成的三角形。

• 中文名称 椭圆焦点三角形
• 应用学科 数学
• 适用领域范围 圆锥曲线方程
• 简称 焦三角形

定义

　　椭圆的焦点三角形是指

椭圆

　　以椭圆的两个焦点F1,F2与椭圆上任意一点P为顶点组成的三角形。

性质

　　(1)|PF1|+|PF2|=2a

　　(2) 4c²=|PF1|²+|PF2|²-2|PF1|·|PF2|·cosθ

　　(3)周长 2a+2c

证明

运用公式

　　设P为椭圆上的任意一点，

　　角F2F1P=α ，F1F2P=β， F1PF2=θ，

　　则有离心率e=sin(α+β) / (sinα+sinβ)，

　　焦点三角形面积S=b^2*(tan(θ/2))。

　　证明方法

　　对于焦点△F1PF2，设PF1=m,PF2=n

　　则m+n=2a

　　在△F1PF2中,由余弦定理:

　　(正弦定理的三角形面积公式)

例题

　　F1，F2是椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的焦点，PQ是过F1的一条弦，求三角形PQF2面积的最大值

　　【解】S△PQF2=S△QF1F2+S△QF1F2=1/2 * |y2-y1| * 2c=c*|y2-y1|

　　△QF1F2与△QF1F2底边均为F1F2=2c，之后是联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理表示出|y2-y1|进行分析即可【|y1-y2| = √(1+1/k^2)[(y1+y2)^2 - 4y1y2] 】

　　请你看下面的一个具体例题，会对你有所启发的。

　　设点F1是x^2/3+y^2/2=1的左焦点，弦AB过椭圆的右焦点，求三角形F1AB的面积的最大值。

　　【解】a^2=3,b^2=2,c^2=3-2=1→→c=1 ∴F1F2=2c=2

　　假设A在x上方，B在下方直线过(1,0)

　　设直线是x-1=m(y-0)x=my+1

　　代入2x^2+3y^2=6(2m^2+3)y^2+4my-4=0→→y1+y2=-4m/(2m^2+3),y1y2=-4/(2m^2+3)

　　△F1AB=△F1F2A+△F1F2B 他们底边都是F1F2=2 则面积和最小就是高的和最小(即 |y1|+|y2|最小)

　　∵AB在x轴两侧,∴一正一负→→|y1|+|y2|=|y1-y2| (y1-y2)^2=(y1+y2)^2-4y1y2=16m^2/(2m^2+3)2+16/(2m^2+3) →→|y1-y2|=4√[m2+(2m2+3)]/(2m2+3)=4√3*√(m2+1)]/(2m2+3)

　　令√(m^2+1)=p 2m^2+3=2p^2+1且p>=1则p/(2p^2+1)=1/(2p+1/p) (分母是对勾函数)

　　∴p=√(1/2)=√2/2时最小这里p>=1→→p=1,2p+1/p最小=3

　　此时p/(2p2+1)最大=1/3→→|y1-y2|最大=4√3*1/3∴最大值=2*4√3/3÷2=4√3/3

　　在椭圆中，我们通常把焦点与过另一个焦点的弦所围成的三角形叫做焦点三角形，类似地，我们也把顶点与过另一个顶点所对应的焦点弦围成的三角形叫顶焦点三角形.在椭圆的顶焦点三角形中有许多与椭圆焦点三角形相类似的几何特征，蕴涵着椭圆很多几何性质，在全国各地的高考模拟试卷及高考试题中，都曾出现过以"顶焦点三角形"为载体的问题.本文对椭圆的顶焦点三角形的性质加以归纳与剖析.

　　参考文献

　　金美琴.二次曲线的定点弦.《数学通报》2003(7)