椭圆型偏微分方程，简称椭圆型方程，一类重要的偏微分方程。早在1900年D.希尔伯特提的著名的23个问题中，就有三个问题是关于椭圆型方程与变分法的。八十多年来，椭圆型方程的研究获得了丰硕的成果。椭圆型方程在流体力学、弹性力学、电磁学、几何学和变分法中都有应用。拉普拉斯方程是椭圆型方程最典型的特例。

• 中文名 椭圆型偏微分方程
• 外文名 partial differential equation of elliptic type
• 代表 拉普拉斯方程
• 简称 椭圆型方程

方程

　　partial differential equation of elliptic type 椭圆型变微分方程

　　其典型代表是拉普拉斯方程与泊松方程(称Δu为拉普拉斯算子)

　　Δu=-4πρ(x，y，z)(2)

　　拉普拉斯方程的二次连续可微解称为调和函数，方程(1)有形如

　　的特解，其中S是一个曲面，μ为定义在S上的连续函数，(3)所定出的函数在S之外处满足(1)，非齐次方程(即泊松方程)(2)有重要特解，它是以ρ为密度的体位势

　　当ρ在Ω内连续可微时，由(4)所确定的函数u在Ω内满足(2)，在Ω外满足(1)。应用格林公式得

　　这说明:调和函数在区域内任何点的值，可由这函数在区域界面上的值以及法线微商来表示。

　　在单位球上的狄利克雷问题，对球面坐标为(ρ，θ，j)的点有

　　其中(θ0，j0)是积分的变元，是球面坐标。cosυ是方向(θ，j)和(θ0，j0)交角的余弦。椭圆型方程的理论已相当完整。

　　椭圆型偏微分方程，数值方法

　　Diptic partial differential equation, numerical methods

　　较高的精度，必须不在逐片线性函数空间中寻求近似 解，而是在逐片二次函数空间中，或更一般地，在逐 片多项式函数空间中去寻求.在这种情况下，对于具 有适当光滑性的解其精度为O(h几)，这里k是所用多 项式的次数. 除三角形有限元外人们也利用四边形有限元.然 而，当四边形的边不平行于坐标轴时，必须使用等参 数技术，也就是说，开始用一种非退化变换把问题中 的有限元映射到一种标准型上(在目前情况下映射到 边平行于坐标轴的矩形上)，这个变换的逆由标准有 限单元上近似解同样的函数给出.人们可以利用曲 边三角形和四边形(又要用到等参技术).当在有光滑 边界的域上用高于一阶精度的方法求解问题时这是必 要的. 除r卸ePKHH类型的有限元法外，还有另外一种所 谓的非协调有限元方法，在这类方法中不在原来空间 的子空间中寻求解.通常这种方法适用于高于二阶的 椭圆型偏微分方程问题. 有限差分法和有限元法导致有稀疏系数矩阵的高 阶线性代数方程组;人们可以压缩这些矩阵中大部分 零元素(见【川，【12】).迄今另一种近似求解椭圆型偏 微分方程边值问题的方法已经显著发展起来:边界元 法([13]). 椭圆型偏微分方程，数值方法L函州允，州目成压城别白. 闰卿坛刀，倒m州加In州加油;，几月，uT。，eeKoro Tona ypa。- .e皿e叱.e"e~e MeTo几u Pe山e妞砚，l 近似确定椭圆型偏微分方程解的一种方法.在对椭 圆型方程提出的各类问题中，边值问题和带Q'勿条 件的问题得到了最透彻的研究.后者是不适定的，且 需要特殊的解法([l]).对椭圆型方程比较典型的提 法是边值问题，并已经提出了很多不同的数值方法求 其近似解(见【2]，【31).在计算实践中网格法是最广为 传播的，其中有有限差分法(见差分法(山玉正泊份n止th. 。由)，差分格式理论(differenCe schem留，theoryof)， 【4」，!5」)和有限元方法(见【6」一【91).虽然这些方法 构造近似解的途径不同-前者逼近方程和边界条件 (见微分边值问题的差分边值问题逼近(approx止扭tionof a di漩比nt妞boundary耐ue problon bydiffi泊泊份bot川户 血州稚lue problen犯))，而后者逼近所求解的本身- 然而最终确定近似解的代数方程组常常基于类似的想 法，并在一些情况下完全一致. 有限差分法的本质如下.用离散点(结点)集代 替原问题中自变量连续变化的区域，并称此离散点集 为网格(颤d);用差分关系逼近出现在微分方程和边 界条件中的导数;于是微分方程的边值问题就被一个 代数方程组(一种差分格式(differen沈岌为~))所取 代.如果所得到的差分边值问题是可解的(可能在足 够细的网格上)并且如果在充分加细的网格上