梯形(trapezium)是指一组对边平行而另一组对边不平行的四边形。平行的两边叫做梯形的底边，长的一条底边叫下底，短的一条底边叫上底。不平行的两边叫腰；夹在两底之间的垂线段叫梯形的高。一腰垂直于底的梯形叫直角梯形。两腰相等的梯形叫等腰梯形(isosceles trapezium)。等腰梯形是一种特殊的梯形，其判定方法与等腰三角形判定方法类似。

• 中文名 梯形
• 外文名 trapezoidal
• 面积公式 S=（a+b）× h / 2
• 周长公式 C = a + b + c + d
• 公式说明 a、b是上底和下底，c、d是两腰，L、h是中位线和高

基本介绍

　　梯形（trapezium)是指只有一组对边平行的四边形（叫作梯形）。平行的两边叫做梯形的底边，也可以单纯的认为上面的一条叫上底，下面一条叫下底。不平行的两边叫腰；两底之间的公垂线段叫梯形的高。

梯形

图形性质

　　①梯形的上下两底平行；

　　②梯形的中位线（两腰中点相连的线叫做中位线）平行于两底并且等于上下底和的一半。

　　③等腰梯形对角线相等。

判定

　　1.一组对边平行，另一组对边不平行的四边形是梯形。

　　2.一组对边平行且不相等的四边形是梯形。

辅助线

　　1．作高（根据题目而确定）；

　　2．平移一腰；

　　3．平移对角线；

　　4．反向延长两腰交于一点；

　　5．取一腰中点，另一腰两端点连接并延长；

　　6． 取两底中点，过一底中点做两腰的平行线。

　　7.  取两腰中点，连接，作中位线。

特殊图形

　　等腰

　　两腰相等的梯形叫做等腰梯形（isosceles trapezium ）

梯形

　　性质等腰梯形

　　1．等腰梯形的两条腰相等。

　　2．等腰梯形在同一底上的两个底角相等。

　　3．等腰梯形的两条对角线相等。

　　4．等腰梯形是轴对称图形，对称轴是上下底中点的连线所在直线(过两底中点的直线）。

　　判定

　　①两腰相等的梯形是等腰梯形；

　　②同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形；

　　③对角线相等的梯形是等腰梯形；

　　直角

　　定义：

　　一腰垂直于底的梯形叫直角梯形。

　　性质：

　　直角梯形有两个角是直角。

　　判定：

　　有两个内角是直角的梯形是直角梯形。

　　中位线

　　定理：

　　平行于两底并等于上底、下底和的一半。

面积公式

　　梯形的面积公式：（上底+下底）×高÷2， 用字母表示：S=（a+b）×h÷2

　　变形1：h=2s÷（a+b）；变形2：a=2s÷h-b；变形3：b=2s÷h-a。

　　另一计算梯形的面积公式： 中位线×高，用字母表示：L·h。

　　对角线互相垂直的梯形面积为：对角线×对角线÷2。

　　字母公式：（A+B)乘H除2

梯形公式

　　（上底+下底）×高÷2， 用字母表示：S=（a+b）×h÷2

应用实例

　　例一、如图，已知四边形ABCD中，AB=DC，AC=DB，求证：四边形ABCD是等腰梯形。

梯形

　　证明：过点A作AE∥DC交BC边于点E．

　　∵AB=CD，AC=DB，BC=CB，

　　图∴△ABC≌△DCB，∴∠ABC=∠DCB

　　又∵AE∥DC，

　　∴∠AEB=∠DCB

　　∴∠ABC=∠AEB ，∴AB=AE，

　　∴四边形AECD是平行四边形．

　　∴AD∥BC．

　　又AB=DC，且AD≠BC，

　　∴四边形ABCD为等腰梯形．

　　点评：

　　判定一个任意四边形为等腰梯形，如果不能直接运用等腰梯形的判定定理，一般的方法是通过作辅助线，将此四边形分解为熟悉的多边形，此例就是通过作平行线，将四边形分解成为一个平行四边形和一个等腰三角形．

　　例 2

　　如图（1），△ABC中，AB=AC，BD、CE分别为∠ABC、∠ACB的平分线。求证：四边形EBCD是等腰梯形。

　　分析：欲证四边形EBCD是等腰梯形，解题思路是证ED//BC，BE=CD，由已知条件易证△BCD≌△CBE得到EB=DC，从而AE=AD，运用等腰三角形的性质可证ED//BC。

图一

　　证明：∵AB=AC，

　　∴∠ABC=∠ACB，

　　∴∠DBC=∠ECB=1/2∠ABC，

　　图（1）

　　∴△EBC≌△DCB（A.S.A），

　　∴BE=CD，

　　∴AB－BE=AC－CD，即AE=AD．

　　∴∠ABC=∠AED，∴ED//BC，

　　又∵EB与DC交于点A，即EB与DC不平行，

　　∴四边形EBCD是梯形，又BE=DC，

　　∴四边形EBCD是等腰梯形．

　　点评：本题的解题关键是证明ED//BC，EB=DC，易错点是忽视证明EB与DC不平行．