求相同因数的积叫做乘方(involution)。乘方运算的结果叫幂(power)。正数的任何次幂都是正数，负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数。

• 中文名称 有理数乘方
• 外文名称 Rational power
• 举例读法 2的2次幂
• 举例 同底数幂法则

表示

　　2、7也可以看做是乘方运算的结果，这时它们表示数，分别读作"2的2次幂"、"7的3次幂"，其中2与7叫做底数(base),2与3叫做指数(exponent)。

　　这种求n个相同因数a的积运算叫做乘方(power)，乘方的结果叫做幂(power)，a叫做底数(base number)，n叫指数(exponent)。任何数的0次方都是1，例:3º=1(注:0º无意义)

同底数幂法则

　　同底数幂相乘除，原来的底数作底数，指数的和或差作指数。

　　推导:

　　设a^m*a^n中，m=2，n=4，那么

　　a^2*a^4

　　=(a*a)*(a*a*a*a)

　　=a*a*a*a*a*a

　　=a^6

　　=a^(2+4)

　　所以代入:a^m*a^n=a^(m+n)

　　用字母表示为:

　　a^m·a^n=a^(m+n) 或 a^m÷a^n=a^(m-n) (m、n均为自然数)

　　1)15^2×15^3; 2)3^2×3^4×3^8; 3)5×5^2×5^3×5^4×…×5^90

　　1)15^2×15^3=15^(2+3)=15^5

　　2)3^2×3^4×3^8=3^(2+4+8)=3^14

　　3)5×5^2×5^3×5^4×…×5^90=5^(1+2+3+…+90)=5^4095[1]

正整数指数幂法则

　　a^k=a*a*....*a(k个a)，其中k∈N*(即k为正整数)

指数为0幂法则

　　a^0=1 ，其中a≠0 ，k∈N*

　　推导:

　　a^0

　　=a^(1-1)

　　=(a^1)/(a^1)

　　=a/a

　　=1

负整数指数幂法则

　　a^(-k)=1/(a^k) ，其中a≠0,k∈N*

　　推导:

　　a^(-k)

　　=a^(0-k)

　　=(a^0)/(a^k)

　　=1/(a^k)[2]

正分数指数幂法则

　　a^(m/n)=

　　，其中n≠0 ， m/n>0，m,n∈N*(即m,n为正整数)

负分数指数幂法则

　　a^[-(m/n)]=

　　，其中，a^m≠0(

　　≠0，a≠0)，m/n>0，n≠0，m,n∈N*

　　推导:

　　a^[-(m/n)]

　　=a^(0-m/n)

　　=(a^0)/[a^(m/n)]

　　=1/[a^(m/n)]

　　=1/

　　=

　　分数指数幂时，当n=2k,k∈N*， 且a^m<0时，则该数在实数范围内无意义

　　特别地，0的非正数指数幂没有意义

平方差

　　两数和乘两数差等于它们的平方差。

　　用字母表示为:

　　(a+b)(a-b)=a^2-b^2

　　推导:

　　(a+b)(a-b)

　　=(a+b)a-(a+b)b

　　=(a^2+ab)-(b^2+ab)

　　=a^2-b^2[3]

幂的乘方法则

　　幂的乘方，底数不变，指数相乘。

　　用字母表示为:

　　(a^m)^n=a^(m×n)

　　幂的乘方

　　特别指出:a^m^n=a^(m^n)

积的乘方

　　积的乘方，先把积中的每一个因数分别乘方，再把所得的幂相乘。

　　用字母表示为:

　　(a×b)^n=a^n×b^n

　　这个积的乘方法则也适用于三个以上乘数积的乘方。如:

　　(a×b×c)^n=a^n×b^n×c^n

同指数幂乘法

　　同指数幂相乘，指数不变，底数相乘。

　　用字母表示为:

　　(a^n)*(b^n)=(ab)^n

完全平方

　　两数和(或差)的平方，等于它们的平方的和加上(或者减去)它们的积的2倍。

　　用字母表示为:

　　(a+b)^2=a^2+2ab+b^2或(a-b)^2=a^2-2ab+b^2

　　我们一般把前者叫作完全平方公式，把后者叫作完全平方差公式。

立方和

　　a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)

立方差

　　a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)[4]

多项式平方

　　(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac

二项式

　　艾萨克·牛顿发现了二项式。二项式是乘方里的复杂运算。右图为二项式计算法则。一般来说，二项式也可以这样表示:

　　1

　　1 1

　　1 2 1

　　1 3 3 1

　　1 4 6 4 1

　　1 5 10 10 5 1

　　…… …… ……

　　这就是著名的杨辉三角。

速算

　　有些较特殊的数的平方，掌握规律后，可以使计算速度加快，现介绍如下。

　　由n个1组成的数的平方

　　我们观察下面的例子。

　　1^2=1

　　11^2=121

　　111^2=12321

　　1111^2=1234321

　　11111^2=123454321

　　111111^2=12345654321

　　……

　　由以上例子可以看出这样一个规律;求由n个1组成的数的平方，先由1写到n，再由n写到1，即:

　　11…1(n个1)^2=1234…(n-1)n(n-1)…4321

　　注意:其中n只占一个数位，满10应向前进位，当然，这样的速算不宜位数过多。

　　由n个3组成的数的平方

　　我们仍观察具体实例:

　　3^2=9

　　33^2=1089

　　333^2=110889

　　3333^2=11108889

　　33333^2=1111088889

　　由此可知:

　　33…3(n个3)^2 = 11…11【(n-1)个1】0 88…88【(n-1)个8】9

　　个位是5的数的平方

　　把a看作10的个数，这样个位数字是5的数的平方可以写成;(10a+5)^2的形式。根据完全平方式推导;

　　(10a+5)^2=(10a)^2+2×10a×5+5^2

　　=100a^2+100a+25

　　=100a×(a+1)+25

　　=a×(a+1)×100+25

　　由此可知:个位数字是5的数的平方，等于去掉个位数字后，所得的数与比这个数大1的数相乘的积，后面再写上25。

图示

　　(2^5=2*2*2*2*2)

　　一、目标预设

　　1、知识与技能

　　(1)在现实背景中，理解有理数乘方的意义，叙述有理数乘方的概念;

　　(2)能进行有理数的乘方运算。

　　2、过程与方法

　　变"幂"为"乘"是由转化的思想把新问题(有理数乘方)转化为旧知识(有理数的乘法)来解决。经历有理数乘方的概念的推导过程，体验乘方概念与有理数乘法的联系;

　　3、情感、态度与价值观

　　通过观察、类比、归纳得出正确的结论。发展综合运用所学知识的能力。

　　二、教学重难点

　　1、重点:在理解有理数乘方意义的基础上进行有理数的乘方运算。

　　2、难点:与所学知识进行衔接，处理带各种符号的乘方运算。

　　三、教学准备

　　1、教具:多媒体

　　2、预习建议:

　　(1)乘方的定义。

　　(2)乘方的初步运算。

　　四、教学方法:

　　引导探索法，尝试指导，充分体现学生的主体地位

　　五、教学设计思路:

　　教师给学生创设问题情境，鼓励学生积极参与，注重学生在认知过程中的思维，通过学生讨论、归纳得出的知识，比教师的单独讲解要记得牢，同时也培养学生归纳、总结的能力。然后通过一些练习来巩固这些知识。

　　1、创设情境，引出课题

　　①听音频资料，通过《棋盘上的学问》一则故事，引入问题:64个二相乘怎么计算?吸引学生注意，为下文引入乘方的概念铺垫。

　　师:到底国王傻不傻呢?大家先别急着下结论，等大家学完了本节课程，就能回答这个问题了。

　　②请大家看细胞分裂示意图，由计算并用算式表示出第一次，第二次，第三次，第n次分裂后细胞的个数，引入乘方的概念。

　　师:有些时候，我们会遇到几个相同因数相乘的式子，比如五个2相乘，我们要写很长，这样的式子有更简单的表示方式吗?

　　2、自主学习，讲解定义

　　(1)请大家阅读课本关于《有理数的乘方》这节课程的内容。(五分钟)

　　(2)请大家在阅读的同时，思考屏幕上的三个问题:(板书课题:有理数的乘方)

　　①什么叫乘方?

　　求 个相同因数的积的运算叫乘方

　　②用字母怎么表示?读作什么?

　　③每个字母表示什么?

　　分别请学生回答相关的问题，培养学生自主学习的能力。

　　注: ①乘方是一种和加减乘除一样的一种运算;

　　②指数n要以小写的形式写于底数的右上角;

　　③了解乘方的意义，从幂转为乘。

　　(3)了解乘方的指数，底数，幂的定义

　　乘方的结果叫做幂;在中，叫做底数，叫做指数。

　　明确了表示a的幂的这个式子的结构之后，做几道口答题。看屏幕，用基础题来调动学生参与讨论回答的积极性，为后续学习热身。

性质

　　正数的任何次幂都是正数，负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，0的任何正整数次幂都得0.

例题

　　某种细胞每过30分便由一个分裂成2个。经过5h，这种细胞由一个能分裂成多少个?

　　解答:1个细胞30min后分裂成2个，1h后分裂成2×2个，1.5h后分裂成2×2×2个……

　　5h后要分裂10次，分裂成2×2×2×2×2×2×2×2×2×2=1 024(个)

　　为了简便，可将2×2×2×2×2×2×2×2×2×2记为2¹º。