一个自然数若能表示为两个完全平方数之差，则称其为"智慧数"。

• 中文名称 智慧数
• 定义 能表示为两个自然数的平方差
• 比如 2^2-1^2=3,3就是智慧数
• 形式 2k+1或4k的形式

智慧数性质

　　比如:2^2-1^2=3,3就是智慧数。

命题

　　这个自然数为智慧数的充分必要条件是其数形式为2k+1或4k(k为正整数)。

　　以下给予推导证明:

　　令P=a^2 -b^2(P、a、b均为正整数)

　　1、若a=2m(m≥1)，b=2n(n≥1)

　　则P=4m^2 -4n^2=4(m^2 -n^2)，此时P为4k形式。

　　2、若a=2m(m≥1)，b=2n+1(n≥0)

　　则P=4m^2 -4n^2-4n-1=4(m^2 -n^2 -n)-1，此时P为4k -1形式。

　　3、若a=2m+1(m≥1)，b=2n(n≥1)

　　则P=4m^2+4m+1-4n^2=4(m^2+m- n^2)+1，此时P为4k+1形式。

　　4、若a=2m+1(m≥1)，b=2n+1(n≥0)

　　则P=4m^2+4m+1-4n^2-4n-1=4(m^2+m- n^2-n)，此时P为4k形式。

　　又易知4k -1，4k+1包括了所有的奇数，即(4k+1)∪(4k -1)=2k+1

　　故P为2k+1或4k的形式，即智慧数为2k+1或4k的形式

　　又2k+1=(k+1)^2 –k^2，

　　4k=(k+1)^2 –(k-1)^2

　　故形如2k+1或4k的形式必为智慧数。

　　5.验证2687是否为智慧数

　　∵2687为奇数∴设2687=2k+1(k为正整数)

　　∴k=1343∴2687=1344²-1343²∴2687是智慧数

命题得证

　　正整数列中最小的智慧数是3，第2个智慧数是5，第3个智慧数是7，依次是0、1、3、4、5、7、8、9、11、12、13、15、16...... 即按一个4的倍数，2个奇数，三个一组地依次排列下去。

　　像5^2-3^2=16,16就是智慧数。

公式

　　非智慧数:N/4+2

　　智慧数:N-(N/4+2)

　　第2012个智慧数

　　2012-1=2011

　　2011÷3=670……1

　　670+1=671

　　671*4=2684

　　2684+1=2685