斐波那契数列1，1，2，3，5，8…，和卢卡斯数列1，3，4，7，11，18…，具有相同的性质:从第三项开始，每一项都等于前两项之和，我们称之为斐波那契-卢卡斯递推。凡符合斐波那契-卢卡斯递推的数列就称为斐波那契-卢卡斯数列。

别名有斐波那契-卢卡斯序列，推广斐波那契数列，推广卢卡斯数列，推广兔子数列等。

• 中文名称 斐波那契-卢卡斯数列
• 别称 卢卡斯数列
• 方法 斐波那契-卢卡斯递推
• 意义 平方数与前后两项之积的差

定义

　　一般地，符合f(n) = f(n-1)+ f(n-2)，f(n-2)=f(n)- f(n-1)的整数数列f(n)，都是斐波那契-卢卡斯数列。

　　为区别不同的斐波那契-卢卡斯数列，我们根据前两项来标定斐波那契-卢卡斯数列，如

　　斐波那契数列:F[1,1];

　　卢卡斯数列:F[1,3];

　　数列1，4，5，9.，14，23…:F[1,4];

　　特别地，常数数列0，0，0…:F[0,0]，作为下述斐波那契-卢卡斯数列群的单位元素。

　　斐波那契-卢卡斯数列群

　　任意两个或两个以上斐波那契-卢卡斯数列之和或差仍然是斐波那契-卢卡斯数列。

性质

　　一些等式

　　f(n+1)+f(n+2)=f(n+3)*1

　　f(n+1)+f(n+2)+f(n+3)+…+f(n+6)=f(n+5)*4

　　f(n+1)+f(n+2)+f(n+3)+…+f(n+10)=f(n+7)*11

　　f(n+1)+f(n+2)+f(n+3)+…+f(n+14)=f(n+9)*29

　　f(n+1)+f(n+2)+f(n+3)+…+f(n+18)=f(n+11)*76

　　注意:1，4，11，29，76，…是卢卡斯数列的奇数项。

　　黄金特征

　　每一项的平方数与前后两项之积的差的绝对值是一个恒值，称为黄金特征。

　　斐波那契数列:|1*1-1*2|=|2*2-1*3|=…=1

　　卢卡斯数列:|3*3-1*4|=|4*4-3*7|=…=5

　　F[1，4]数列:|4*4-1*5|=|5*5-4*9|=…=11

　　F[2，5]数列:|5*5-2*7|=|7*7-5*12|=…=11

　　F[2，7]数列:|7*7-2*9|=|9*9-7*16|=…=31

　　斐波那契数列的黄金特征1最小，也就是前后项之比接近黄金比例最快，我们称为黄金特征，黄金特征1的数列只有斐波那契数列，是独生数列。卢卡斯数列的黄金特征是5，也是独生数列。前两项互质的独生数列只有斐波那契数列和卢卡斯数列这两个数列。而F[1，4]数列和F[2，5]数列的黄金特征是11，黄金特征31的数列除了F[2，7]外，还有F[3，8]，其他前两项互质的斐波那契-卢卡斯数列都是成对出现的，他们都是:

　　孪生斐波那契-卢卡斯数列

　　利用f(n-2)= f(n)- f(n-1)，写出前面的项，如下表:

　　我们发现:斐波那契-卢卡斯数列与分数对应:

　　F[1，1]的正负项绝对值相等，第0项为0，对应于整数。

　　F[1，3]的正负项绝对值也相等，第0项为2，第1项为1，对应于分数1/2。

　　而F[1，4]的正项绝对值与F[2，5]的负项绝对值相等，F[2，5]的正项绝对值与F[1，4]的负项绝对值相等，而且，他们的第0项都是3，第1项分别是1和2，所以他们对应互补的分数1/3和2/3，这样的数列就是孪生斐波那契-卢卡斯数列。每一对互补的分数(如1/4和3/4，1/5和4/5，2/5和3/5，或2/6和4/6等等)都对应一对孪生斐波那契-卢卡斯数列。

黄金阵列

　　经过对斐波那契-卢卡斯数列和黄金特征、黄金比例的研究，我把自然数排列为如下的黄金阵列:

　　第一排，斐波那契数列，1，2，3，5，8.…

　　第二排，最小缺4，4*1.618取整6--4，6，10，16…

　　第三排，最小缺7，7*1.618取整11--7，11，18，29…

　　以此类推。

　　第1列的经验公式:[(2n-1)(√5+3)/4+0.5]的整数部分。

　　黄金阵列具有以下性质:

　　1)各斐波那契-卢卡斯数列都出现一次(常数数列0，0，0…除外)

　　2)每一个同一列的数，与黄金比例之积，与整数的距离差不多。

　　每一个数的列数，我们可乘之为该数的黄金阶数。

　　前10个数的黄金阶数分别是1，2，3，1，4，2，1，5，1，3。

　　前10个黄金阶数5阶或5阶以上的数分别是8，13，21，26，34，42，47，55，63，68，他们之间两两相差5或8，我们称之为真金数。

　　黄金阶数为1的数，不是在真金数的两边(如8的两边7和9)，就是在相差8的2个真金数中间(如13和21之间的17)。