数列求和
数列求和对按照一定规律排列的数进行求和。求Sn实质上是求{Sn}的通项公式，应注意对其含义的理解。常见的方法有公式法、错位相减法、倒序相加法、分组法、裂项法、数学归纳法、通项化归、并项求和。数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础。在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位。数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要有一定的技巧。
- 中文名 数列求和
- 类 别 定理
- 类 型 概念
- 解 释 对按照一定规律排列的数进行求和
公式
等差数列求和公式:
等比数列求和公式:
一些常见数列的前N项和公式
1+2+3+4+……+N=1/2N(N+1)
1+3+5+7+……+2N-1=N*2
2+4+6+8+……+2N=N+N*2
错位相减
适用题型:适用于通项公式为等差的一次函数乘以等比的数列形式 和等差等比数列相乘 { an }、{ bn }分别是等差数列和等比数列.
例如:
______①
Tn=上述式子/(1-q)
此外.①式可变形为
为{bn}的前n项和.
此形式更理解也好记
倒序相加
这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列(反序)，再把它与原数列相加，就可以得到n个(a1+an)
Sn =a1+ a2+ a3+...... +an
Sn =an+ a(n-1)+a(n-2)...... +a1
上下相加 得到2Sn 即 Sn= (a1+an)n/2
分组
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.
例如:an=2^n+n-1
裂项
适用于分式形式的通项公式，把一项拆成两个或多个的差的形式，即an=f(n+1)-f(n)，然后累加时抵消中间的许多项。
常用公式:
(1)1/n(n+1)=1/n-1/(n+1) ，1/(n-1)-1/n>1/n2>1/n-1/n+1(n≥2)一般形式
(2)1/(2n-1)(2n+1)=1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)]
(3)1/n(n+1)(n+2)=1/2[1/n(n+1)-1/(n+1)(n+2)]
(4)1/(√a+√b)=[1/(a-b)](√a-√b)
(5) n·n!=(n+1)!-n!
(6)1/(√n+√(n+a))=1/a(√(n+a)-√n)
[例] 求数列an=1/n(n+1) 的前n项和.
解:an=1/n(n+1)=1/n-1/(n+1) (裂项)
则Sn
=1-1/2+1/2-1/3+1/4…+1/n-1/(n+1)(裂项求和)
= 1-1/(n+1)
= n/(n+1)
小结:此类变形的特点是将原数列每一项拆为两项之后，其中中间的大部分项都互相抵消了。只剩下有限的几项。
注意: 余下的项具有如下的特点
1、余下的项前后的位置前后是对称的。
2、余下的项前后的正负性是相反的。
数学归纳法
一般地，证明一个与正整数n有关的命题，有如下步骤:
(1)证明当n取第一个值时命题成立;
(2)假设当n=k(k≥n的第一个值，k为自然数)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。
例:
求证:
1×2×3×4 + 2×3×4×5 + 3×4×5×6 + .…… + n(n+1)(n+2)(n+3) = [n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)]/5
证明:
当n=1时，有:
1×2×3×4 = 24 = 2×3×4×5/5
假设命题在n=k时成立，于是:
1×2x3×4 + 2×3×4×5 + 3×4×5×6 + .…… + k(k+1)(k+2)(k+3) = [k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)]/5
则当n=k+1时有:
1×2×3×4 + 2×3×4×5 + 3×4×5×6 + …… + (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)
= 1×2×3×4 + 2×3×4*5 + 3×4×5×6 + …… + k(k+1)(k+2)(k+3) + (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)
= [k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)]/5 + (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)
= (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)*(k/5 +1)
= [(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)(k+5)]/5
即n=k+1时原等式仍然成立，归纳得证
通项化归
先将通项公式进行化简，再进行求和。
如:求数列1，1+2，1+2+3，1+2+3+4,……的前n项和。此时先将an求出，再利用分组等方法求和。
并项求和
(常采用先试探后求和的方法)
例:1-2+3-4+5-6+……+(2n-1)-2n
方法一:(并项)
求出奇数项和偶数项的和，再相减。
方法二:
(1-2)+(3-4)+(5-6)+……+[(2n-1)-2n]
方法三:
构造新的数列，可借用等差数列与等比数列的复合。
an=n(-1)^(n+1)