在数学中，拉普拉斯展开(或称拉普拉斯公式)是一个关于行列式的展开式。将一个n×n矩阵B的行列式进行拉普拉斯展开，即是将其表示成关于矩阵B的某一行(或某一列)的 n个元素的(n-1) × (n-1)余子式的和。

• 中文名称 拉普拉斯展开
• 领域 数学
• 分类 关于行列式的展开式
• 备注 公式

简介

　　在数学中，拉普拉斯展开(或称拉普拉斯公式)是一个关于行列式的展开式。将一个n×n矩阵B的行列式进行拉普拉斯展开，即是将其表示成关于矩阵B的某一行(或某一列)的 n个元素的(n-1) × (n-1)余子式的和。行列式的拉普拉斯展开一般被简称为行列式按某一行(或按某一列)的展开。由于矩阵B有 n行 n列，它的拉普拉斯展开一共有 2n种。拉普拉斯展开的推广称为拉普拉斯定理，是将一行的元素推广为关于k行的一切子式。它们的每一项和对应的代数余子式的乘积之和仍然是B的行列式。研究一些特定的展开可以减少对于矩阵B之行列式的计算，拉普拉斯公式也常用于一些抽象的推导中。

公式

　　设B = (bij)是一个n × n矩阵。B关于第i行第j列的余子式Mij是指B中去掉第i行第j列后得到的n−1阶子矩阵的行列式。有时可以简称为B的(i，j)余子式。B的(i，j)代数余子式:Cij是指B的(i，j)余子式Mij与(−1)^(i+j)的乘积:Cij= (−1)^(i+j) Mij

拉普拉斯在分块阵的用法

　　拉普拉斯展开最初由范德蒙德给出，为如下公式:

　　对于任意i,j∈ {1, 2, ...,n}:|B| = bi1Ci1 +bi2Ci2 +... +binCin = b1jC1j +b2jC2j +... +bnjCnj