基本定义

　　平面内，到定点与定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。其中定点叫抛物线的焦点，定直线叫抛物线的准线。

定义解题

　　例：已知F是抛物线y^2=4x的交点，A（3，2）是一个顶点，P是抛物线上的动点，求|PA|+|PF|的最小值和此时P的坐标？

　　解：设抛物线的准线为L，过P作PH⊥L，垂足为H，再过A点作AH’⊥L，垂足为H’，并交抛物线于P’。连接P’F。则：

　　|PA|+|PF|=|PA|+|PH|≥|AH’|=|P’A|+|P’H|=|P’A|+|P’F|

　　所以，|PA|+|PF|的最小值是|AH’|，而准线方程x=-1

　　故|PA|+|PF|的最小值是4，此时，P’的坐标是（1，2）　

　　抛物线的性质：1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x = -b/2a。　　

　　对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。

　　特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）

　　2.抛物线有一个顶点P，坐标为P ([-b/2a ，(4ac-b²)/4a ]

　　当-b/2a=0时，P在y轴上；当Δ= b²-4ac=0时，P在x轴上。

　　3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。

　　当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。

　　|a|越大，则抛物线的开口越小。

　　4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。

　　当a与b同号时（即ab>0），对称轴在y轴左侧； 因为若对称轴在左边则对称轴小于0，也就是-b/2a<0,若要b/2a大于0，则a、b要同号

　　当a与b异号时（即ab<0），对称轴在y轴右侧。因为对称轴在右边则对称轴要大于0，也就是-b/2a>0,若要b/2a小于0，则a、b要异号

　　事实上，b有其自身的几何意义：抛物线与y轴的交点处的该抛物线切线的函数解析式（一次函数）的斜率k的值。可通过对二次函数求导得到（y‘=2ax+b，当x=0时切线斜线k=b）。

　　5.常数项c决定抛物线与y轴交点。

　　抛物线与y轴交于（0，c）

　　6.抛物线与x轴交点个数

　　Δ= b∧2-4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点。

　　Δ=b∧2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。

　　Δ= b∧2-4ac<0时，抛物线与x轴没有交点。X的取值是虚数（x= -b±√b²－4ac 的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2a）

　　当a>0时，函数在x= -b/2a处取得最小值f(-b/2a)=4ac-b/4a；在{x|x<-b/2a}上是减函数，在{x|x>-b/2a}上是增函数；抛物线的开口向上；函数的值域是{y|y≥4ac-b/4a}相反不变

　　当b=0时，抛物线的对称轴是y轴，这时，函数是偶函数，解析式变形为y=ax^2+c(a≠0)

　　7.定义域：R

　　值域：a＞0：[ (4ac-b^2)/4a，+∞）；a＜0：[ (4√ac-b^2)/√

　　4a，-∞）

　　奇偶性：偶函数

　　周期性：无

　　解析式：

　　①y=ax^2+bx+c[一般式]

　　⑴a≠0

　　⑵a>0，则抛物线开口朝上；a<0，则抛物线开口朝下；

　　⑶极值点：（-b/2a，(4ac-b^2)/4a）；

　　⑷Δ=b^2-4ac,

　　Δ>0，图象与x轴交于两点：

　　（[-b-√Δ]/2a，0）和（[-b+√Δ]/2a，0）；

　　Δ=0，图象与x轴交于一点：

　　（-b/2a，0）；

　　Δ<0，图象与x轴无交点；

　　②y=a(x-h)^2+k[顶点式]

　　此时，对应极值点为（h，k），其中h=-b/2a，k=(4ac-b^2)/4a；    

对称解题

　　我们知道，抛物线y = ax^2 + bx + c ( a ≠0 )是轴对称图形，它的对称轴是直线x = - b/ 2a ，它的顶点在对称轴上。解决有关抛物线的问题时，若能巧用抛物线的对称性，则常可以给出简捷的解法。

　　例1　已知抛物线的对称轴是x =1，抛物线与y轴交于点（0，3），与x轴两交点间的距离为4，求此抛物线的解析式。

　　分析　设抛物线的解析式为y = ax^2 + bx + c 。若按常规解法，则需要解关于a、b、c的三元一次方程组，变形过程比较繁杂；若巧用抛物线的对称性，解法就简捷了。因为抛物线的对称轴为x =1，与x轴两交点间的距离为4，由抛物线的对称性可知，它与x轴交于A（-1，0）、B（3，0）两点。于是可设抛物线的解析式为y = a（x+1）（x-3）。又因为抛物线与y轴交于点（0，3），所以3 = -3a。故a =-1。

　　∴y = -（x+1）（x-3），即

　　y = - x^2 + 2x +3。

　　例2　已知抛物线经过A（-1，2）、B（3，2）两点，其顶点的纵坐标为6，求当x =0时y的值。

　　分析　要求当x =0时y的值，只要求出抛物线的解析式即可。

　　由抛物线的对称性可知，A（-1，2）、B（3，2）两点是抛物线上的对称点。由此可知，抛物线的对称轴是x = 1。故抛物线的顶点是（1，6）。于是可设抛物线的解析式为y = a（x-1）2+ 6。因为点（-1，2）在抛物线上，所以4a + 6 = 2。故a = -1。

　　∴y = -(x-1)^2+ 6，即

　　y = - x^2 + 2x +5。

　　∴当x =0时，y = 5。

　　例3　已知抛物线与x轴两交点A、B间的距离为4，与y轴交于点C，其顶点为（-1，4），求△ABC的面积。

　　分析　要求△ABC的面积，只要求出点C的坐标即可。为此，需求出抛物线的解析式。由题设可知，抛物线的对称轴是x = -1。由抛物线的对称性可知，A、B两点的坐标分别为（-3，0）、（1，0）。故可设抛物线的解析式为y = a（x+1）^2+ 4[或y = a（x+3）（x-1）]。

　　∵点（1，0）在抛物线上，

　　∴4a + 4 = 0。∴a = -1。

　　∴y = -（x+1）2+ 4，即

　　y = - x2 - 2x +3。

　　∴点C的坐标为（0，3）。

　　∴S△ABC = 1/2×（4×3）= 6。

　　例4　已知抛物线y = ax2 + bx + c的顶点A的纵坐标是4，与y轴交于点B，与x轴交于C、D两点，且-1和3是方程ax2 + bx + c =0的两个根，求四边形ABCD的面积。

　　分析　要求四边形ABCD的面积，求出A、B两点的坐标即可。为此，要求出抛物线的解析式。由题设可知，C、D两点的坐标分别为（-1，0）、（3，0）。由抛物线的对称性可知，抛物线的对称轴是x = 1。故顶点A的坐标是（1，4）。从而可设抛物线的解析式为y = a（x-1）2+ 4[或y = a（x+1）（x-3）]。

　　∵点（-1，0）在抛物线上，

　　∴4a + 4 = 0。故a = -1。

　　∴y = -(x-1)^2+ 4，即

　　y = - x^2 + 2x +3。

　　∴点B的坐标为（0，3）。

　　连结OA ，则S四边形ABCD = S△BOC + S△AOB + S△AOD = 1/2×1×3+1/2×3×1+1/2×3×4=9

标准方程

标准方程

　　右开口抛物线：y^2=2px

　　左开口抛物线:y^2= -2px

　　上开口抛物线：x^2=2py

　　下开口抛物线:x^2= -2py

　　[p为焦距（p>0）]

特点

　　在抛物线y^2=2px中，焦点是(p/2，0），准线的方程是x= -p/2，离心率e=1，范围：x≥0；

　　在抛物线y^2= -2px 中，焦点是( -p/2，0），准线的方程是x=p/2，离心率e=1，范围：x≤0；

　　在抛物线x^2=2py 中，焦点是（0，p/2），准线的方程是y= -p/2,离心率e=1，范围：y≥0；

　　在抛物线x^2= -2py中，焦点是（0，-p/2），准线的方程是y=p/2，离心率e=1，范围：y≤0；

抛物线

相关参数

　　(对于向右开口的抛物线)　

　　离心率：e=1

　　焦点:(p/2，0)

　　准线方程l:x=-p/2

　　顶点：(0，0)

　　通径：2p ；定义：圆锥曲线（除圆外）中，过焦点并垂直于轴的弦　定义域（x≥0）

　　值域（y∈R)

解析式法

　　以焦点在x轴上为例

　　知道P（x0，y0)

　　令所求为y^2=2px

　　则有y0^2=2px0

　　∴2p=y0^2/x0

　　∴抛物线为y^2=(y0^2/ x0)x

焦点方程

　　焦点准线式（标准方程）

　　焦点：F(m,n)

　　准线：L：ax+by+c=0

　　方程为：[x^2-2mx+m^2+y^2-2ny+n^2]^1/2=[(ax+by+c)^2/(a^2+b^2)]^1/2

　　整理得　b^2x^2-2abxy+a^2y^2-2(ac+ma^2+mb^2)x-2(bc+na^2+nb^2)y+(m^2+n^2)(a^2+b^2)-c^2=0

弧长公式

　　面积 Area=2ab/3

抛物线

　　弧长 Arc length ABC

　　=√(b^2+16a^2 )/2+b^2/8a ln((4a+√(b^2+16a^2 ))/b)

其他相关

　　抛物线：y = ax^2 + bx + c （a≠0)

　　就是y等于ax 的平方加上 bx再加上 c

　　a > 0时开口向上

　　a < 0时开口向下

　　c = 0时抛物线经过原点

　　b= 0时抛物线对称轴为y轴

　　还有顶点式y = a（x-h）^2 + k

　　就是y等于a乘以（x-h）的平方+k

　　h是顶点坐标的x

　　k是顶点坐标的y

　　一般用于求最大值与最小值

　　抛物线标准方程：y^2=2px

　　它表示抛物线的焦点在x的正半轴上，焦点坐标为(p/2,0) 准线方程为x=-p/2

　　由于抛物线的焦点可在任意半轴，故共有标准方程y^2=2px y^2=-2px x^2=2py x^2=-2py

相关结论

　　过抛物线y^2=2px(p>0)焦点F作倾斜角为θ的直线L,L与抛物线相交于A（x1,y1)，B(x2,y2),有

　　① x1*x2 = p^2/4 , y1*y2 = —P^2,要在直线过焦点时才能成立

　　② 焦点弦长：|AB| = x1+x2+P = 2P/[(sinθ)^2]

　　③ （1/|FA|）+（1/|FB|）= 2/P

　　④若OA垂直OB则AB过定点M（2P，0）

　　⑤焦半径：|FP|=x+p/2 （抛物线上一点P到焦点F距离等于到准线L距离）

　　⑥弦长公式：AB=√（1+k^2）*│x2-x1│

　　⑦△=b^2-4ac

　　⑴△=b^2-4ac>0有两个实数根

　　⑵△=b^2-4ac=0有两个一样的实数根

　　⑶△=b^2-4ac<0没实数根

　　⑧由抛物线焦点到其切线的垂线距离，是焦点到切点的距离，与到顶点距离的比例中项。

　　⑨标准形式的抛物线在x0，y0点的切线就是：yy0=p(x+x0)