X=a[n]*(n-1)!+a[n-1]*(n-2)!+...+a[i]*(i-1)!+...+a[1]*0! ，其中a[i]为当前未出现的元素中是排在第几个(从0开始)。这就是康托展开。康托展开可用代码实现。

• 中文名 康托展开式
• 外文名 Cantor expansion
• 提出者 康托
• 应用学科 计算机科学
• 适用领域范围 解决一些序列问题的算法

公式

　　把一个整数X展开成如下形式:

　　X=a[n]*(n-1)!+a[n-1]*(n-2)!+...+a[i]*(i-1)!+...+a[2]*1!+a[1]*0!

　　其中a[i]为''当前元素''在''所有未出现的元素''中排在第i个(从0开始)，并且0<=a[i]<i(1<=i<=n)

应用实例

实例1

　　Description

　　在魔方风靡全球之后不久，Rubik先生发明了它的简化版――魔板。魔板 由8个同样大小的方块组成，每个方块颜色均不相同，可用数字1-8分别表示。任一时刻魔板的状态可用方块的颜色序列表示:从魔板的左上角开始，按顺时针方 向依次写下各方块的颜色代号，所得到的数字序列即可表示此时魔板的状态。例如，序列(1,2,3,4,5,6,7,8)表示魔板状态为:

　　1 2 3 4

　　8 7 6 5

　　对于魔板，可施加三种不同的操作，具体操作方法如下:

　　A: 上下两行互换,如上图可变换为状态87654321

　　B: 每行同时循环右移一格,如上图可变换为41236785

　　C: 中间4个方块顺时针旋转一格,如上图可变换为17245368

　　给你魔板的初始状态与目标状态，请给出由初态到目态变换数最少的变换步骤，若有多种变换方案则取字典序最小的那种。

　　Input

　　每组测试数据包括两行，分别代表魔板的初态与目态。

　　Output

　　对每组测试数据输出满足题意的变换步骤。

　　Sample Input

　　12345678

　　17245368

　　12345678

　　82754631

　　Sample Output

　　CAC

　　C++实现:

实例2

　　{1,2,3,4,...,n}表示1,2,3,...,n的排列如 {1,2,3} 按从小到大排列一共6个。123 132 213 231 312 321 。

　　代表的数字 1 2 3 4 5 6 也就是把10进制数与一个排列对应起来。

　　他们间的对应关系可由康托展开来找到。

　　如我想知道321是{1,2,3}中第几个小的数可以这样考虑 :

　　第一位是3，当第一位的数小于3时，那排列数小于321 如 123、 213 ，小于3的数有1、2 。所以有2*2!个。再看小于第二位2的:小于2的数只有一个就是1 ，所以有1*1!=1 所以小于321的{1,2,3}排列数有2*2!+1*1!=5个。所以321是第6个小的数。 2*2!+1*1!+0*0!就是康托展开。

　　再举个例子:1324是{1,2,3,4}排列数中第几个大的数:第一位是1小于1的数没有，是0个 0*3! 第二位是3小于3的数有1和2，但1已经在第一位了，所以只有一个数2 1*2! 。第三位是2小于2的数是1，但1在第一位，所以有0个数 0*1! ，所以比1324小的排列有0*3!+1*2!+0*1!=2个，1324是第三个小数。

代码实现

　　后文的PASCAL程序经检验可以正确工作，并指示出了一个简洁的计算方法，和前文的运算思路略有不同，不需要检验某数码是否使用过，只需检查第(n+1-i)位之后比第(n+1-i)位小的位的数量，将这个数量作为公式中的a[i]。(1<=i<=n)

　　C++

　　Pascal

　　s为数组，用来存储要求的数，形如(1,3,2,4)。

　　n为数组中元素个数。

　　fac[x]为x!

　　C语言

　　//参数int s[]为待展开之数的各位数字,如需展开2134,则s[4]={2,1,3,4}.long int fac[]={1,1,2,6,24,120,720,5040,40320,362880};//阶乘表

康托逆展开

　　例1 {1,2,3,4,5}的全排列，并且已经从小到大排序完毕

　　(1)找出第96个数

　　首先用96-1得到95

　　用95去除4! 得到3余23

　　有3个数比它小的数是4

　　所以第一位是4

　　用23去除3! 得到3余5

　　有3个数比它小的数是4但4已经在之前出现过了所以第二位是5(4在之前出现过，所以实际比5小的数是3个)

　　用5去除2!得到2余1

　　有2个数比它小的数是3，第三位是3

　　用1去除1!得到1余0

　　有1个数比它小的数是2，第二位是2

　　最后一个数只能是1

　　所以这个数是45321

　　(2)找出第16个数

　　首先用16-1得到15

　　用15去除4!得到0余15

　　用15去除3!得到2余3

　　用3去除2!得到1余1

　　用1去除1!得到1余0

　　有0个数比它小的数是1

　　有2个数比它小的数是3 但由于1已经在之前出现过了所以是4(因为1在之前出现过了所以实际比4小的数是2)

　　有1个数比它小的数是2 但由于1已经在之前出现过了所以是3(因为1在之前出现过了所以实际比3小的数是1)

　　有1个数比它小得数是2 但由于1，3，4已经在之前出现过了所以是5(因为1，3，4在之前出现过了所以实际比5小的数是1)

　　最后一个数只能是2

　　所以这个数是14352

　　康托逆展开的代码

　　Pascal语言

　　求n个数的全排列中第m大的组合:

　　{n在20+就需要用高精度来做}

　　C++