广勾股定理:在任一三角形中，

(1)锐角对边的平方，等于两夹边的平方和，减去某夹边和另一夹边在此边上的投影乘积的两倍.

(2)钝角对边的平方，等于两夹边的平方和，加上某夹边与另一夹边在此边延长上的投影乘积的两倍.

• 中文名称 广勾股定理
• 拼音 guanggougudingli
• 别称 余弦定理
• 意义 反映直角三角形三边间的度量关系

产生背景

　　(余弦定理)

　　勾股定理反映了直角三角形三边之间的度量关系，即"斜边的平方等于两直角边的平方之和".如果不是直角三角形，而是锐角或钝角三角形，那么它们的三边之间存在怎样的度量关系呢?这就涉及到广勾股定理了.

定理定义

　　在任一三角形中，

　　(1)锐角对边的平方，等于两夹边的平方和，减去某夹边和另一夹边在此边上的投影乘积的两倍.

　　(2)钝角对边的平方，等于两夹边的平方和，加上某夹边与另一夹边在此边延长上的投影乘积的两倍.

证明

　　设△ABC中，BC是锐角A的对边(图2-4).作CH⊥AB于H，

　　根据勾股定理:BC^2 = BH^2 + CH²

　　而 BH = AB-AH , CH^2 = AC^2 - AH^2

　　带入后有:BC^2 = (AB-AH)^2 + AC^2 - AH^2

　　简化后:BC^2 = AB^2 +AC^2 -2AB·AH 式(1)

　　钝角时的证明如下，与上面有点类似:

　　BC^2 = BH^2 + CH^2

　　而BH=AB+AH,CH^2 = AC^2 - AH^2

　　同理:BC^2 = (AB+AH)^2 + AC^2 - AH^2

　　简化后:BC^2 = AB^2 +AC^2 +2AB·AH

　　推广(高中余弦定理的导出):

　　设:CosA = AH/AC

　　则:AH = AC·CosA 代入式(1)则有:

　　BC^2 = AB^2 +AC^2 -2AB·AC·CosA