一般的，形如y=x^α(α为实数)的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常量的函数称为幂函数。例如函数y=x y=x、y=x、y=x(注:y=x=1/x y=x时x≠0)等都是幂函数。当a取非零的有理数时是比较容易理解的，而对于α取无理数时，初学者则不大容易理解了。因此，在初等函数里，我们不要求掌握指数为无理数的问题，只需接受它作为一个已知事实即可，因为这涉及到实数连续性的极为深刻的知识。

• 中文名 幂函数
• 外文名 power function
• 分类 理学
• 定义 幂函数 函数
• 所属学科 分析数学

概念信息

　　形如y=x^a(a为常数）的函数，即以底数为自变量幂为因变量，指数为常量的函数称为幂函数。

　　当a取非零的有理数时是比较容易理解的，而对于a取无理数时，初学者则不大容易理解了。因此，在初等函数里，我们不要求掌握指数为无理数的问题，只需接受它作为一个已知事实即可，因为这涉及到实数连续性的极为深刻的知识。

基本性质

　　幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．

取正值

　　当α>0时，幂函数y=x^a有下列性质：

　　a、图像都经过点（1,1）(0,0）；

　　b、函数的图像在区间[0,+∞)上是增函数；

　　c、在第一象限内，α>1时，导数值逐渐增大；0<α<1时，导数值逐渐减小，趋近于0；

取负值

　　当α<0时，幂函数y=x^a有下列性质：

　　a、图像都通过点（1,1）；

　　b、图像在区间（0，+∞）上是减函数；

　　c、在第一象限内，有两条渐近线，自变量趋近0，函数值趋近+∞，自变量趋近+∞，函数值趋近0。

取零

　　当a=0时，幂函数y=xa有下列性质：

　　a、y=x0的图像是直线y=1去掉一点（0,1）。它的图像不是直线。(00没有意义）

定义域和值域

　　当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：

1. 如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根据a的奇偶性来确定，即如果同时p为奇数， 则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数；2.如果同时p为偶数，则函数的定义域为所有非零实数。
2. 当x为不同的数值时，幂函数的值域的不同情况如下：

　　1.在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数。

　　2. 在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数。

　　而只有a为正数，0才进入函数的值域。

基本分类

自然数幂

　　自然数幂函数xn的定义为自变量自乘n次，如

幂函数

有理数幂

　　形如

幂函数

　　的幂函数定义为

幂函数

　　的多值反函数。但实际上，我们还是只取主值。

无理数幂

　　无理数幂可以由有理数列逼近得到

复数幂

　　扩大的幂函数定义为

　　为一个多值函数

特性介绍

　　对于a的取值为非零有理数，有必要分成几种情况来讨论各自的特性：

　　首先我们知道如果a=p/q，且p/q为既约分数（即p、q互质），q和p都是整数，则x^(p/q)=q次根号下（x的p次方），如果q是奇数，函数的定义域是R，如果q是偶数，函数的定义域是[0,+∞）。当指数a是负整数时，设a=-k，则y=1/(x^k)，显然x≠0，函数的定义域是（－∞，0)∪(0,+∞)。因此可以看到x所受到的限制来源于两点，一是有可能作为分母而不能是0，一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数，那么我们就可以知道：

　　a小于0时，x不等于0；

　　a的分母为偶数时，x不小于0；

　　a的分母为奇数时，x取R。

特殊情况

　　由于x大于0是对a的任意取值都有意义的，因此下面给出幂函数在各象限的各自情况。可以看到（右图上至下：x1/8，x1/4，x1/2，x1，x2，x4，x8）：

幂函数图

　　（1）所有的图形都通过（1，1）这点.(a≠0) a>0时 图象过点（0，0）和（1，1）。

　　（2）单调区间：

　　当a为整数时，a的正负性和奇偶性决定了函数的单调性：                        

　　①当a为正奇数时，图像在定义域为R内单调递增；                                     

　　②当a为正偶数时，图像在定义域为第二象限内单调递减，在第一象限内单调递增；

　　③当a为负奇数时，图像在第一三象限各象限内单调递减（但不能说在定义域R内单调递减）；

　　④当a为负偶数时，图像在第二象限上单调递增，在第一象限内单调递减。

　　当a为分数时，a的正负性和分母的奇偶性决定了函数的单调性：

　　①当a>0，分母为偶数时，函数在第一象限内单调递增；

　　②当a>0，分母为奇数时，函数在第一、三象限各象限内单调递增；

　　③当a<0，分母为偶数时，函数在第一象限内单调递减；

　　④当a<0，分母为奇数时，函数在第一、三象限各象限内单调递减（但不能说在定义域R内单调递减）；

　　（3）当a>1时，

　　幂函数图形下凸（竖抛）；当0<a<1时，幂函数图形上凸（横抛）。当a<0时，图像为双曲线。

　　（4）在（0,1）上，幂函数中a越大，函数图像越靠近x轴；在（1，﹢∞）上幂函数中a越大，函数图像越远离x轴。

　　（5）当a<0时，a越小，图形倾斜程度越大。

　　（6）显然幂函数无界限。

　　（7）a=2n,该函数为偶函数 {x|x≠0}。

特别说明

　　为了研究方便，在初等函数里对于幂函数，只讨论a=1,2,3,1/2,-1时的情形。