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对数公式

2022-07-12 15:44:39 百科资料

如果a^x=N(a>0,且a不等于1),则数x叫做以a为底N的对数,记做x=log(a)(N) ,其中a要写于log右下。对数性质与运算法则如下。 ①loga(1)=0; ②loga(a)=1; ③负数与零无对数.并且a^logaN=N (a>0 ,a≠1)。

  • 中文名 对数公式
  • 外文名 logarithmic formula
  • 类 别 公式
  • 适用领域 数学
  • 公式 x=log(a)(N)

概念

  如果a^x=N(a>0,且a不等于1),则数x叫做以a为底N的对数,记做x=log(a)(N) ,其中a要写于log右下。

性质

  ①loga(1)=0;

  ②loga(a)=1;

  ③负数与零无对数.

对数恒等式

  a^logaN=N (a>0 ,a≠1)

运算法则

  如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,那么:

  ①loga(MN)=logaM + logaN;

  ②loga(M/N)=logaM-logaN; ③对logaM中M的n次方有=nlogaM;

  如果a=e^m,则m为数a的自然对数,即lna=m,e=2.718281828…为自然对数

  的底。定义: 若a^n=b(a>0且a≠1) 则n=log(a)(b)

  一般的,将底数为10的对数叫做常用对数,即lga=log10(a).

  基本性质:

  1、a^(log(a)(b))=b

  2、log(a)(MN)=log(a)(M) + log(a)(N);

  3、log(a)(M÷N)=log(a)(M) - log(a)(N);

  4、log(a)(M^n)=n * log(a)(M)

  5、log(a^n)M=1/n * log(a)(M)

  推导:

  1、因为n=log(a)(b),代入则a^n=b,即a^(log(a)(b))=b。

  2、MN=M×N

  由基本性质1(换掉M和N)

  a^[log(a)(MN)] = a^[log(a)(M)]×a^[log(a)(N)]

  由指数的性质

  a^[log(a)(MN)] = a^{[log(a)(M)] + [log(a)(N)]}

  又因为指数函数是单调函数,所以

  log(a)(MN) = log(a)(M) + log(a)(N)

  3、与(2)类似处理 M/N=M÷N

  由基本性质1(换掉M和N)

  a^[log(a)(M÷N)] = a^[log(a)(M)] ÷ a^[log(a)(N)]

  由指数的性质

  a^[log(a)(M÷N)] = a^{[log(a)(M)] - [log(a)(N)]}

  又因为指数函数是单调函数,所以

  log(a)(M÷N) = log(a)(M) - log(a)(N)

  4、与(2)类似处理

  M^n=M^n 由基本性质1(换掉M) a^[log(a)(M^n)] = {a^[log(a)(M)]}^n

  由指数的性质

  a^[log(a)(M^n)] = a^{[log(a)(M)]*n}

  又因为指数函数是单调函数,所以

  log(a)(M^n)=nlog(a)(M)

  基本性质4推广​

对数基本性质4推导工程

  log(a^n)(b^m)=m/n × [log(a)(b)]

  推导如下: 由换底公式(换底公式见下面)[lnx是log(e)(x),e称作自然对数的底] log(a^n)(b^m)=ln(b^m)÷ln(a^n)

  换底公式的推导: 设e^x=b^m,e^y=a^n 则log(a^n)(b^m)=log(e^y)(e^x)=x/y x=ln(b^m),y=ln(a^n) 得:log(a^n)(b^m)=ln(b^m)÷ln(a^n)

  由基本性质4可得 log(a^n)(b^m) = [m×ln(b)]÷[n×ln(a)] = (m÷n)×{[ln(b)]÷[ln(a)]}

  再由换底公式 log(a^n)(b^m)=m÷n × [log(a)(b)]

换底公式

  设b=a^m,a=c^n,则b=(c^n)^m=c^(mn)………………………………①

  对①取以a为底的对数,有:log(a)(b)=m……………………………..  ②

  对①取以c为底的对数,有:log(c)(b)=mn……………………………  ③

  ③/②,得:log(c)(b)/log(a)(b)=n=log(c)(a)∴log(a)(b)=log(c)(b)/log(c)(a)

  注:log(a)(b)表示以a为底x的对数。

  换底公式拓展:

  以e为底数和以a为底数的公式代换:

  logae=1/(lna)

推导公式

  log(1/a)(1/b)=loga(b)

  loga(b)*logb(a)=1

  loge(x)=ln(x)

  lg(x)=log10(x

推导公式

求导数

  (xlogax)'=logax+1/lna

  其中,logax中的a为底数,x为真数;

  (logax)'=1/xlna

  特殊的即a=e时有

  (logex)'=(lnx)'=1/x

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