如果a^x=N(a>0,且a不等于1)，则数x叫做以a为底N的对数，记做x=log（a）（N）　，其中a要写于log右下。对数性质与运算法则如下。　①loga(1)=0； ②loga(a)=1； ③负数与零无对数.并且a^logaN=N (a>0 ，a≠1）。

• 中文名 对数公式
• 外文名 logarithmic formula
• 类 别 公式
• 适用领域 数学
• 公式 x=log（a）（N）

概念

　　如果a^x=N(a>0,且a不等于1)，则数x叫做以a为底N的对数，记做x=log（a）（N）　，其中a要写于log右下。

性质

　　①loga(1)=0；

　　②loga(a)=1；

　　③负数与零无对数.

对数恒等式

　　a^logaN=N (a>0 ，a≠1）

运算法则

　　如果a>0，且a≠1，M>0,N>0，那么：

　　①loga(MN)=logaM + logaN；

　　②loga(M/N)=logaM－logaN； ③对logaM中M的n次方有=nlogaM；

　　如果a=e^m，则m为数a的自然对数，即lna=m，e=2.718281828…为自然对数

　　的底。定义： 若a^n=b(a>0且a≠1) 则n=log(a)(b)

　　一般的，将底数为10的对数叫做常用对数，即lga=log10(a).

　　基本性质：

　　1、a^(log(a)(b))=b

　　2、log(a)(MN)=log(a)(M) + log(a)(N);

　　3、log(a)(M÷N)=log(a)(M) - log(a)(N);

　　4、log(a)(M^n)=n * log(a)(M)

　　5、log(a^n)M=1/n * log(a)(M)

　　推导：

　　1、因为n=log(a)(b)，代入则a^n=b，即a^(log(a)(b))=b。

　　2、MN=M×N

　　由基本性质1(换掉M和N)

　　a^[log(a)(MN)] = a^[log(a)(M)]×a^[log(a)(N)]

　　由指数的性质

　　a^[log(a)(MN)] = a^{[log(a)(M)] + [log(a)(N)]}

　　又因为指数函数是单调函数，所以

　　log(a)(MN) = log(a)(M) + log(a)(N)

　　3、与（2）类似处理 M/N=M÷N

　　由基本性质1(换掉M和N)

　　a^[log(a)(M÷N)] = a^[log(a)(M)] ÷ a^[log(a)(N)]

　　由指数的性质

　　a^[log(a)(M÷N)] = a^{[log(a)(M)] - [log(a)(N)]}

　　又因为指数函数是单调函数，所以

　　log(a)(M÷N) = log(a)(M) - log(a)(N)

　　4、与（2）类似处理

　　M^n=M^n 由基本性质1(换掉M) a^[log(a)(M^n)] = {a^[log(a)(M)]}^n

　　由指数的性质

　　a^[log(a)(M^n)] = a^{[log(a)(M)]*n}

　　又因为指数函数是单调函数，所以

　　log(a)(M^n)=nlog(a)(M)

　　基本性质4推广​

对数基本性质4推导工程

　　log(a^n)(b^m)=m/n × [log(a)(b)]

　　推导如下： 由换底公式（换底公式见下面）[lnx是log(e)(x)，e称作自然对数的底] log(a^n)(b^m)=ln(b^m)÷ln(a^n)

　　换底公式的推导： 设e^x=b^m,e^y=a^n 则log(a^n)(b^m)=log(e^y)(e^x)=x/y x=ln(b^m),y=ln(a^n) 得：log(a^n)(b^m)=ln(b^m)÷ln(a^n)

　　由基本性质4可得 log(a^n)(b^m) = [m×ln(b)]÷[n×ln(a)] = (m÷n)×{[ln(b)]÷[ln(a)]}

　　再由换底公式 log(a^n)(b^m)=m÷n × [log(a)(b)]

换底公式

　　设b=a^m，a=c^n，则b=(c^n)^m=c^(mn)………………………………①

　　对①取以a为底的对数，有：log(a)(b)=m……………………………..  ②

　　对①取以c为底的对数，有：log(c)(b)=mn……………………………  ③

　　③/②，得：log(c)(b)/log(a)(b)=n=log(c)(a)∴log(a)(b)=log(c)(b)/log(c)(a)

　　注：log(a)(b)表示以a为底x的对数。

　　换底公式拓展：

　　以e为底数和以a为底数的公式代换：

　　logae=1/（lna）

推导公式

　　log(1/a)(1/b)=loga(b)

　　loga(b)*logb(a)=1

　　loge(x)=ln(x)

　　lg(x)=log10(x

推导公式

求导数

　　(xlogax)'=logax+1/lna

　　其中，logax中的a为底数，x为真数；

　　(logax)'=1/xlna

　　特殊的即a=e时有

　　(logex)'=(lnx)'=1/x