孤立奇点即假设X是一个代数簇，P∈X是X上的一个奇点，如果存在一个包含P的开邻域(又称开集)U，使得U中不再包含其他的奇点， 那么就称P是孤立奇点。或如果函数F(z)在z1(1是下标)处不解析，但在z1的某一个去心领域0<|z-z1|<δ内处处解析，那么z1称为F(z)的孤立奇点。

例如函数1/z，在z=0处不解析，除0以外处处解析。但应指出不是所有的奇点都是孤立的，例如函数1/(sin(1/z)),除了z=0是它的一个奇点外，z=1/(nπ) (n=±1,±2,±3……)也都是它的奇点。

• 中文名 孤立奇点
• 特征 代数簇
• 存在区域 奇点
• 特性 不可替代

分类

　　函数在它的孤立奇点z1的去心领域内可展开成洛朗级数。根据展开式的不同情况将孤立奇点分为:

　　1.可去奇点

　　2.极点

　　3.本性奇点

可去奇点

　　定义:如果洛朗级数中不含z-z1的负幂项，那么孤立奇点z1称为函数F(z)的可去奇点。

　　例如，函数sinzz在z=0处不解析,但函数的洛朗展开式:

　　sinz/z=(1/z)*[z-(1/3!)*z^3+(1/5!)*z^5…(-1)^n*(1/(2n+1)!)*z^(2n+1)]=1-(1/3!)*z^2+(1/5!)*z^4……

　　展开式中并不含负幂项，那么此时z=0在展开式中又解析了，所以称为可去奇点。

极点

　　定义:如果在洛朗级数中只有有限多个z-z1的负幂项，且其中关于(z-z1)^-1的最高幂为(z-z1)^-n,

　　那么孤立奇点z1称为函数F(z)的n级极点。即，

　　F(z)=C-n(Z- Z1)^-n+…C-2(Z- Z1)^-2+ C-1(Z- Z1)^-1+C0+ C1(Z-Z1)+C2(Z-Z1)^-2

　　=[C-n+ C-n+1(Z- Z1 )+ C-n+2 (Z- Z1 )^-2+……]*[1/(Z- Z1 )^n]

　　令G(z)=C-n+ C-n+1(Z- Z1 )+ C-n+2 (Z- Z1 )^2+……

　　当任何一个函数F(z)能表示成G(z)*[1/(Z- Z1 )^n]，且G(Z1)时不等于零，那么z1是函数的n级极点。

　　如果z1为F(z)的极点，就有l i m|F(z) |=+∞(z→z1)。

　　例如:F(z)=(z-2)/(z-1)^3,z=1就是它的一个三级极点。

本性奇点

　　定义:如果在洛朗级数中含有无穷多个z-z1的负幂项，那么孤立奇点z1称为F(z)的本性奇点。

　　例如:函数e^(1/z)以0为它的本性奇点。因为函数的展开式为:

　　e^(1/z)=1+z^-1+(1/2!)*z^-2……+(1/n!)*z^-n

　　综上所述，如果z1为F(z)的可去奇点，那么l i mF(z)(z→z1)存在且有限;

　　如果z1为F(z)的极点，那么l i mF(z)=∞(z→z1);

　　如果z1为F(z)的本性奇点，那么l i mF(z)(z→z1)不存在极限且不为∞;

　　通过极限的不同类型判别孤立奇点的类型