若圆内接四边形的对角线相互垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线将平分对边。

如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC⊥BD，垂足为M。EF⊥BC，且M在EF上。那么F是AD的中点。

推广过圆内接四边形两对角线交点作任一边的垂线，必过以其对边为一边，以交点为顶点的三角形的外心。

• 中文名 婆罗摩笈多定理
• 外文名 Brahmagupta theorem
• 别称 布拉美古塔定理
• 提出者 婆罗摩笈多
• 应用学科 数学

定理定义

　　若圆内接四边形的对角线相互垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线将平分对边。这个定理有另一个名称,叫做"布拉美古塔定理"(又译"卜拉美古塔定理")。

验证推导

方法一

　　如图，运用向量证明。

　　∵B、F、A共线，由共线向量基本定理可知，存在唯一实数k，使EF=(1-k)EB+kEA。其中BF=kBA

　　又EF⊥CD

　　∴EF·CD=[(1-k)EB+kEA]·(CE+ED)=0

　　展开得(1-k)EB·CE+kEA·CE+(1-k)EB·ED+kEA·ED=0

　　∵EB⊥CE、EA⊥ED，即EB·CE=0，EA·ED=0

　　∴kEA·CE+(1-k)EB·ED=0

　　即k|EA||CE|cos0+(1-k)|EB||ED|cosπ=0

　　kEA*EC=(1-k)EB*ED

　　∵EA*EC=EB*ED(相交弦定理)

　　∴k=1-k，k=1/2

　　∴BF=1/2*BA，即F是BA中点

方法二

　　如图，运用几何证明。

　　∵AC⊥BD，ME⊥BC

　　∴∠CBD=∠CME

　　∵∠CBD=∠CAD，∠CME=∠AMF

　　∴∠CAD=∠AMF

　　∴AF=MF

　　∵∠AMD=90°，同时∠MAD+∠MDA=90°

　　∴∠FMD=∠FDM

　　∴MF=DF，即F是AD中点

　　此外，还可以通过向量法证明。

定理推广

　　若圆内接四边形的对角线相互垂直，则一边中点与对角线交点的连线垂直于对边。

　　如上图，圆内接四边形ABCD中，AC⊥BD，M是垂足。F是AD中点，则FM⊥BC。

　　过圆内接四边形两对角线交点做另一边的垂线，必过其对边为一边，以交点为一顶点的三角形的外心。

证明

方法一

　　∵MA⊥MD，F是AD中点

　　∴AF=MF

　　∴∠CAD=∠AMF

　　∵∠CAD=∠CBD，∠AMF=∠CME

　　∴∠CBD=∠CME

　　∵∠CME+∠BME=∠BMC=90°

　　∴∠CBD+∠BME=90°

　　∴EF⊥BC

方法二

　　∵F是BA中点

　　∴EF=1/2*(EA+EB)

　　CD=CE+ED

　　EF·CD=1/2*(EA+EB)·(CE+ED)

　　EF·CD=1/2*(EA·CE+EA·ED+EB·CE+EB·ED)

　　EF·CD=1/2*(EA*EC-EB*ED)=0

　　∴EF⊥CD

定理说明

　　1.此定理是很冷门的(被考即是因为冷门)，最好提前引例证明

　　2.想要抓住联赛的几何题，类似的冷门定理要多掌握