除法的一种类型，俗称「长除」。适用于整式除法、小数除法、多项式除法(即因式分解)等较重视计算过程和商数的除法，过程中兼用了乘法和减法。多项式除法是代数中的一种算法，用一个同次或低次的多项式去除另一个多项式。是常见算数技巧长除法的一个推广版本。它可以很容易地手算，因为它将一个相对复杂的除法问题分解成更小的一些问题。

• 中文名 多项式除法
• 外文名 Polynomial division
• 属性 多项式
• 性质 算法
• 多项式 除以多项式一般用竖式进行演算

一般步骤

　　多项式除以多项式一般用竖式进行演算

　　(1)把被除式、除式按某个字母作降幂排列，并把所缺的项用零补齐.

　　(2)用被除式的第一项除以除式第一项，得到商式的第一项.

　　(3)用商式的第一项去乘除式，把积写在被除式下面(同类项对齐)，消去相等项，把不相等的项结合起来.

　　(4)把减得的差当作新的被除式，再按照上面的方法继续演算，直到余式为零或余式的次数低于除式的次数时为止,被除式=除式×商式+余式。若余式为零，说明这个多项式能被另一个多项式整除

多项式除法示例

举例

　　计算

　　把被除式、除式按某个字母作降幂排列，并把所缺的项用零补齐，写成以下这种形式:

　　然后商和余数可以这样计算:

1. 将分子的第一项除以分母的最高次项(即次数最高的项，此处为x)。结果写在横线之上(x ÷ x = x).
2. 将分母乘以刚得到结果(最终商的第一项)，乘积写在分子前两项之下(同类项对齐) (x·(x−1) = x−x).
3. 从分子的相应项中减去刚得到的乘积(消去相等项，把不相等的项结合起来)，结果写在下面。(x−(x−x) =x)然后，将分子的下一项"拿下来"。
4. 把减得的差当作新的被除式，重复前三步(直到余式为零或余式的次数低于除式的次数时为止.被除式=除式×商式+余式 )
5. 重复第四步。这次没什么可以"拿下来"了。

　　横线之上的多项式即为商，而剩下的 (这个例子中没有) 就是余数。

　　算数的长除法可以看做以上算法的一个特殊情形，即所有 x 被替换为10的情形。

整除

　　如果一个多项式除以另一个多项式，余式为零，就说这个多项式能被另一个多项式整除

应用

　　多项式的因式分解

　　有时某个多项式的一或多个根已知，可能是使用有理根定理(Rational root theorem) 得到的。如果一个次多项式 的一个根已知，那么 可以使用多项式长除法因式分解为的形式，其中是一个次的多项式。简单来说，就是长除法的商，而又知是的一个根、余式必定为零。

　　相似地，如果不止一个根是已知的，比如已知和这两个，那么可以先从中除掉线性因子得到，再从中除掉 ，以此类推。或者可以一次性地除掉二次因子。

　　使用这种方法，有时超过四次的多项式的所有根都可以求得，虽然这并不总是可能的。例如，如果 有理根定理(Rational root theorem)可以用来求得一个五次方程的一个(比例)根，它就可以被除掉以得到一个四次商式;然后使用四次方程求根的显式公式求得剩余的根。

　　寻找多项式的切线

　　多项式长除法可以用来在给定点上查找给定多项式的切线方程。 如果 R(x) 是 P(x)/(x-r) 的余式--也即，除以 x-2rx+r--那么在 x=r 处 P(x) 的切线方程是 y=R(x)，不论 r 是否是 P(x) 的根。