均值不等式，又名平均值不等式、平均不等式，是数学中的一个重要公式：公式内容为Hn≤Gn≤An≤Qn，即调和平均数不超过几何平均数，几何平均数不超过算术平均数，算术平均数不超过平方平均数。

简介

　　概念：

均值不等式

　　1、调和平均数：Hn=n/(1/a_1+1/a_2+⋯+1/a_n )

　　2、几何平均数：Gn=n√(a_1 a_2…a_n )

　　3、算术平均数：An=(a_1+a_2+⋯+a_n)/n

　　4、平方平均数：Qn=√((a_1^2+a_2^2+⋯+a_n^2)/n)

　　5、均值定理： 如果

　　属于正实数那么且仅当时 等号成立。

　　这四种平均数满足Hn≤Gn≤An≤Qn

　　a1、a2、… 、an∈R +，当且仅当a1=a2= … =an时取“=”号

　　均值不等式的一般形式：设函数D(r)=[（a1^r+a2^r+...an^r）/n]^(1/r）（当r不等于0时）；

　　（a1a2...an)^(1/n）（当r=0时）（即D(0)=(a1a2...an)^(1/n））

　　则 [1]当注意到Hn≤Gn≤An≤Qn仅是上述不等式的特殊情形，即D(-1）≤D(0）≤D⑴≤D⑵

　　由以上简化，有一个简单结论，中学常用2/(1/a+1/b）≤√ab≤（a+b)/2≤√[(a^2+b^2)/2]

　　均值定理的证明：因为 a 〉0 ， b 〉0 所以 a+b/2 - √ab = a+b-2√ab/2 = (√a-√b)^2/2 ≥ 0

　　即 a+b/2≥√ab. 当且仅当√a= √b ,等号成立。

变形

　　⑴对实数a,b，有a^2+b^2≥2ab （当且仅当a=b时取“=”号），a^2+b^2>0>-2ab

　　⑵对非负实数a,b，有a+b≥2√（a×b）≥0，即（a+b)/2≥√（a×b）≥0

　　⑶对负实数a,b，有a+b<-2√（a*b)<0

　　⑷对实数a,b，有a(a-b）≥b(a-b)

　　⑸对非负实数a,b，有a^2+b^2≥2ab≥0

　　⑹对实数a,b，有a^2+b^2≥1/2*(a+b）^2≥2ab

　　⑺对实数a,b,c，有a^2+b^2+c^2≥1/3*(a+b+c)^2

　　⑻对实数a,b,c，有a^2+b^2+c^2≥ab+bc+ac

　　⑼对非负数a,b，有a^2+ab+b^2≥3/4*(a+b)^2

　　⑽对非负数a,b,c，有（a+b+c)/3≥（abc)^(1/3)

证明

　　方法很多，数学归纳法（第一或反向归纳）、拉格朗日乘数法、琴生不等式法、排序不等式法、柯西不等式法等等

　　用数学归纳法证明，需要一个辅助结论。

　　引理：设A≥0，B≥0，则（A+B)^n≥A^n+nA^(n－1)B。

　　注：引理的正确性较明显，条件A≥0，B≥0可以弱化为A≥0，A+B≥0，有兴趣的同学可以想想如何证明（用数学归纳法）。

　　原题等价于：（（a1+a2+…+an)/n)^n≥a1a2…an。

　　当n=2时易证；

　　假设当n=k时命题成立，即

　　（（a1+a2+…+ak)/k)^k≥a1a2…ak。那么当n=k+1时，不妨设a(k+1）是a1，a2 ，…，a(k+1）中最大者，则

　　k a(k+1）≥a1+a2+…+ak。

　　设s=a1+a2+…+ak，

　　{[a1+a2+…+a(k+1)]/(k+1)}^(k+1)

　　={s/k+[k a(k+1）－s]/[k(k+1)]}^(k+1)

　　≥（s/k)^(k+1)+(k+1)(s/k)^k[k a(k+1）－s]/k(k+1) 用引理

　　=(s/k)^k* a(k+1)

　　≥a1a2…a(k+1）。用归纳假设

　　下面介绍个好理解的方法

　　琴生不等式法

　　琴生不等式：上凸函数f(x），x1,x2,...xn是函数f(x）在区间（a,b）内的任意n个点，

　　则有：f[(x1+x2+...+xn)/n]≥1/n*[f(x1)+f(x2)+...+f(xn)]

　　设f(x)=lnx，f(x）为上凸增函数

　　所以，ln[(x1+x2+...+xn)/n]≥1/n*[ln(x1)+ln(x2)+...+ln(xn)]=ln[(x1*x2*...*xn)^(1/n)]

　　即（x1+x2+...+xn)/n≥（x1*x2*...*xn)^(1/n)

　　在圆中用射影定理证明（半径不小于半弦）

应用

　　例一 证明不等式：2√x≥3-1/x (x>0)

　　证明：2√x+1/x=√x+√x+1/x≥3*[（√x)*（√x)*(1/x)]^(1/3)=3

　　所以，2√x≥3-1/x

　　例二 长方形的面积为p，求周长的最小值

　　解：设长，宽分别为a,b，则a*b=p

　　因为a+b≥2√（ab），所以2(a+b）≥4√（ab)=4√p

　　周长最小值为4√p

　　例三 长方形的周长为p，求面积的最大值

　　解：设长，宽分别为a,b，则2(a+b)=p

　　因为a+b=p/2≥2√（ab），所以ab≤p^2/16

　　面积最大值是p^2/16

其他不等式

　　琴生不等式 （具有凹凸性）

　　绝对值不等式

　　权方和不等式

　　赫尔德不等式

　　闵可夫斯基不等式

　　伯努利不等式

　　柯西不等式

　　切比雪夫不等式

　　外森比克不等式

　　排序不等式

重要不等式

柯西不等式

　　柯西不等式的一般证法有以下几种：

　　⑴Cauchy不等式的形式化写法就是：记两列数分别是ai,bi，则有 （∑ai^2) * （∑bi^2) ≥ （∑ai * bi)^2.

　　我们令 f(x) = ∑（ai + x * bi)^2 = （∑bi^2) * x^2 + 2 * （∑ai * bi) * x + （∑ai^2)

　　则我们知道恒有 f(x) ≥ 0.

　　用二次函数无实根或只有一个实根的条件，就有 Δ = 4 * （∑ai * bi)^2 - 4 * （∑ai^2) * （∑bi^2) ≤ 0.

　　于是移项得到结论。

　　⑵用向量来证.

　　m=(a1,a2......an) n=(b1,b2......bn)

　　mn=a1b1+a2b2+......+anbn=(a1^+a2^+......+an^)^1/2乘以（b1^+b2^+......+bn^)^1/2乘以cosX．

　　因为cosX小于等于1，所以：a1b1+a2b2+......+anbn小于等于a1^+a2^+......+an^)^1/2乘以（b1^+b2^+......+bn^)^1/2

　　这就证明了不等式．

　　柯西不等式还有很多种，这里只取两种较常用的证法．

　　柯西不等式在求某些函数最值中和证明某些不等式时是经常使用的理论根据，我们在教学中应给予极大的重视。

　　巧拆常数：

　　例：设a、b、c 为正数且各不相等。

　　求证：（2/a+c)+(2/b+c)+(2/c+a)>(9/a+b+c)

　　分析：∵a 、b 、c 均为正数

　　∴为证结论正确只需证：2(a+b+c)[(1/a+b)+(1/b+c)+(1/c+a)]>9

　　而2(a+b+c)=(a+b)+(a+c)+(c+b)

　　又 9=(1+1+1)(1+1+1)

　　证明：Θ2(a+b+c)[(1/a+b)+(1/b+c)+(1/c+a)]=[(a+b)+(a+c)+(b+c)][1/a+b)+(1/b+c)+(1/c+a)]≥（1+1+1)(1+1+1)=9

　　又 a、b 、c 各不相等，故等号不能成立

　　∴原不等式成立。

　　像这样的例子还有很多，词条里不再一一列举，大家可以在参考资料里找到柯西不等式的证明及应用的具体文献．

排序不等式

　　排序不等式是高中数学竞赛大纲要求的基本不等式。

　　设有两组数 a 1,a 2，…… a n,b 1,b 2，…… b n 满足 a 1 ≤ a 2 ≤……≤ a n,b 1 ≤ b 2 ≤……≤ b n 则有 a 1 b n + a 2 b n?1 +……+ a n b1≤ a 1 b t + a 2 b t +……+ a n b t ≤ a 1 b 1 + a 2 b 2 +……+ a n b n 式中t1，t2，……，tn是1，2，……，n的任意一个排列， 当且仅当 a 1 = a 2 =……= a n 或 b 1 = b 2 =……= b n 时成立。

　　以上排序不等式也可简记为：反序和≤乱序和≤同序和.

　　证明时可采用逐步调整法。

　　例如，证明：其余不变时，将a 1 b 1 + a 2 b 2 调整为a 1 b 2 + a 2 b 1 ，值变小，只需作差证明（a 1 -a 2)*（b 1 -b 2）≥0，这由题知成立。

　　依次类推，根据逐步调整法，排序不等式得证。

切比雪夫不等式

　　切比雪夫不等式有两个

　　⑴设存在数列a1,a2,a3.....an和b1,b2,b3......bn满足a1≤a2≤a3≤.....≤an和b1≤b2≤b3≤......≤bn

　　那么，∑aibi≥（1/n）（∑ai）（∑bi)

　　⑵设存在数列a1,a2,a3.....an和b1,b2,b3......bn满足a1≤a2≤a3≤.....≤an和b1≥b2≥b3≥......≥bn

　　那么，∑aibi≤（1/n）（∑ai）（∑bi)

琴生不等式

　　设f(x）为上凸函数，则f[(x1+x2+……+xn)/n]≥[f(x1)+f(x2)+……+f(xn)]/n，称为琴生不等式（幂平均）。

　　加权形式为：

　　f[(a1x1+a2x2+……+anxn)]≥a1f(x1)+a2f(x2)+……+anf(xn），其中

　　ai>=0(i=1,2，……，n），且a1+a2+……+an=1.从图中直观地证明E1F1≥E2F2≥E3F3≥E4F4，当a=b时取等号。

　　幂平均不等式

　　幂平均不等式：ai>0(1≤i≤n），且α>；β，则有（∑ai^α/n)^1/α≥（∑ai^β/n)^1/β成立

　　iff a1=a2=a3=……=an 时取等号

　　加权的形式：

　　设ai>0，pi>0(1≤i≤n），且α>；β，则有

　　（∑pi*ai^α/∑pi)^1/α≥（∑pi*ai^β/∑pi)^1/β

　　iff a1=a2=a3=……=an， p1=p2=p3=……=pn 时取等号。

特例

　　- 调和平均（-1次幂）， - 几何平均（0次幂）， - 算术平均（1次幂）， ， - 二次平均（2次幂）