圆外蝴蝶定理其实是一个没有正式规定的定理，它是由蝴蝶定理衍生出的一个概念，且与蝴蝶定理有着相当大的联系，它的定义是这样的:延长圆O中两条弦AB与DC交于一点P，过P做OP垂线，垂线与DB和AC的延长线交于E、F，则可得出PE=PF

并且还可以扩展为:若延长CB和AD，与垂线EF分别交于M、N，则可得出PM=PN，巧合的是，这种扩展在蝴蝶定理中也成立

而将由已知垂直证明线段相等反过来，即已知线段相等，证明垂直依然可行

• 中文名称 圆外蝴蝶定理
• 应用 求解数学问题
• 特点 由蝴蝶定理衍生出的一个概念
• 性质 数学定理

定理介绍

衍生原理

　　如图，左边的是圆内蝴蝶定理，右边的是圆外蝴蝶定理，我们可以推理，一条直线L进过圆O内部，过O且垂直于直线L的直线h，P为垂足，圆内两条弦AB、CD交于P，CB与AD所在直线交直线L于M、N，CA和BD所在直线交直线L于E、F，当直线L以垂线h方向向圆外移动，至直线L不与圆相交时，垂足兼交点的P移动到圆外，就形成了右边的圆外蝴蝶定理，且得出的结论与圆内蝴蝶定理完全一样：PM=PN，PE=PF

衍生原理

圆外蝴蝶定理

相同点

　　同样拥有蝴蝶一样的形状，在解法上，几乎一模一样，目前解决圆外蝴蝶定理的正向证明有很多，其中在蝴蝶定理与圆外蝴蝶定理通用的解法有：过圆心做垂直，利用垂弦定理，相似三角形，四点共圆，全等；另外一种则是不用圆心，直接做平行，导圆周角，四点共圆。而在解决逆向证明的时候，前者没有"对偶解法"则会失效，而后者的"对偶解法"--做对称三角形，则与做平行线成了两种解决一切圆有关的蝴蝶定理正、逆向证明以及其扩展形式的通用对偶解法。

对比证明

　　正向证明--做平行线

　　如图(1)圆内蝴蝶定理的证明，已知P为弦EF中点，求证PM=PN

(1)

　　解：辅助线：过D点做MN的平行线，交圆O于Q，连接PQ，QN，BQ

　　∵DQ∥MN，P为EF中点

　　∴易证PD=PQ

　　∴∠PDQ=∠QPN

　　又∵∠CDQ+∠CBQ=180°

　　∴∠NPQ+∠NBQ=180°

　　∴P、N、B、Q四点共圆

　　∴∠CBA=∠NQP=∠MDP

　　∵∠MPD=∠NPQ，PD=PQ，∠PDM=∠PQN

　　∴△PDM≌△PQN(ASA)

　　∴PM=PN

　　如图(2)圆外蝴蝶定理的证明，已知OP⊥MN，求证PN=PM

　　解：辅助线：如(1)所述

(2)

　　∵DQ∥MN，OP⊥MN

　　∴易证PD=PQ ∠NQP=∠MDP ∠DPO=∠QPO(根据圆的对称性)

　　∴∠PDQ=∠QPM ∠MPD=∠NPQ

　　又∵∠CDQ+∠CBQ=180°

　　∴∠MPQ+∠NBQ=180°

　　∴P、N、Q、B四点共圆

　　∴∠CBA=∠NQP=∠MDP

　　∵∠MPD=∠NPQ，PD=PQ，∠PDM=∠PQN

　　∴△PDM≌△PQN(ASA)

　　∴PM=PN

　　逆向证明--做对称三角形

　　如图(3)圆内蝴蝶定理的逆向证明，已知PM=PN，求证P为EF中点

(3)

　　解：辅助线：做△PMD关于MN中垂线对称的△PNQ，连接DQ，BQ

　　∵△PMD与△PNQ对称

　　∴△PMD≌△PNQ

　　∴∠ADC=∠PQN=∠ABC

　　∴P、N、B、Q四点共圆

　　∴∠NPQ+∠NBQ=180°

　　∵PD=PQ，DQ∥MN

　　∴∠NPQ=∠CDQ

　　∴∠CDQ+∠CBQ=180°

　　∴Q在圆O上

　　∴易证OP⊥DQ

　　∴OP⊥EF

　　∴P为EF中点

　　如图(4)圆外蝴蝶定理的逆向证明，已知PM=PN，求证PO⊥MN

(4)

　　解：辅助线：如(3)所述

　　∵△PMD与△PNQ对称

　　∴△PMD≌△PNQ

　　∴∠ADC=∠PQN=∠ABC

　　∴P、N、B、Q四点共圆

　　∴∠MPQ+∠NBQ=180°

　　∵PD=PQ，DQ∥MN

　　∴∠MPQ=∠CDQ

　　∴∠CDQ+∠CBQ=180°

　　∴Q在圆O上

　　∴易证OP⊥DQ

　　∴OP⊥MN

扩展

　　如图，弦DC与BA延长交于圆外一点P，延长弦DB与AC，与过P点的OP的垂线分别交于N、M，求证PM=PN(正向证明)

扩展形式(正向证明)

　　解：辅助线：过D点做MN平行线，交圆O于Q，连接MQ，PQ，AQ

　　∵OP⊥MN，DQ∥MN

　　∴OP⊥DQ

　　∴PD=PQ

　　∴∠PDQ=∠QPN

　　∵∠PDQ+∠CAQ=180°

　　∴∠QPN+∠MAQ=180°

　　∴P、M、Q、A四点共圆

　　∴∠MQP=∠MAP=∠NDP

　　∵∠QPM=∠DPN，PQ=PD，∠MQP=∠NDP

　　∴△MPQ≌△NPD(ASA)

　　∴PM=PN

　　如图，弦DC与BA延长交于圆外一点P，延长弦DB与AC，与过P点的直线分别交于N、M，若PM=PN，求证OP⊥MN(逆向证明)

扩展形式(逆向证明)

　　解：辅助线：做△PDN关于MN中垂线对称的△PQM，连接DQ，AQ

　　∵△PDN与△PQM对称

　　∴△PDN≌△PQM

　　∴∠PDB=∠PAC=∠MQP

　　∴P、M、Q、A四点共圆

　　∴∠QPN+∠MAQ=180°

　　∵PD=PQ，DQ∥MN

　　∴∠QPN=∠PDQ

　　∴∠PDQ+∠CAQ=180°

　　∴Q在圆O上

　　∴易证OP⊥DQ

　　∴OP⊥MN

应用

　　如图，钝角△ABC，H为其垂心，O为其外心，连接CH，延长BA与CH交于D，过D做OD的垂线，与CA的延长线交于E，求证∠CAB=∠DHE

辅助线应用

　　解：辅助线：做出△ABC的外接圆圆O，圆O与CH交于F，连接BH，连接BF并延长与ED延长线交于G

　　∵H为△ACB的垂心

　　∴BA⊥CH，CA⊥BH

　　∴∠DBH=∠DCA=∠DBF

　　∵∠FDB=∠HDB，BD=BD，∠DBF=∠DBH

　　∴△DBF≌△DBH(ASA)

　　∴DF=DH

　　∵BF与CA的延长线交OD垂线于G、E

　　∴DG=DE(圆外蝴蝶定理)

　　∵DF=DH，∠FDG=∠HDE，DG=DE

　　∴△FDG≌△HDE(SAS)

　　∴∠GFD=∠CFB=∠CAB=∠DHE