圆内接四边形(Cyclic quadrilateral)是在同圆内，四边形的四个顶点均在同一个圆上的四边形。拥有很多有用的性质，可以用于很多的数学几何问题。

• 中文名 圆内接四边形
• 外文名 Cyclic quadrilateral
• 应用学科 数学
• 适用领域范围 几何学

性质定理

　　以右图所示圆内接四边形ABCD为例，圆心为O，延长AB至E，AC、BD交于P，则:

　　▶圆内接四边形的对角互补:∠BAD+∠DCB=180°，∠ABC+∠ADC=180°

　　▶圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角:∠CBE=∠ADC

　　▶圆心角的度数等于所对弧的圆周角的度数的两倍:∠AOB=2∠ACB=2∠ADB

　　▶同弧所对的圆周角相等:∠ABD=∠ACD

　　▶圆内接四边形对应三角形相似:△ABP∽△DCP(三个内角对应相等)

　　▶相交弦定理:AP×CP=BP×DP

示例图

　　▶托勒密定理:AB×CD+AD×CB=AC×BD

判定定理

　　1、如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形内接于一个圆;

　　2、如果一个四边形的外角等于它的内对角，那么这个四边形内接于一个圆;

　　3、如果一个四边形的四个顶点与某定点等距离，那么这个四边形内接于以该点为圆心的一个圆;

　　4、若有两个同底的三角形，另一顶点都在底的同旁，且顶角相等，那么这两个三角形有公共的外接圆;

　　5、如果一个四边形的张角相等，那么这个四边形内接于一个圆;

　　6、相交弦定理的逆定理;

　　7、托勒密定理的逆定理。

面积计算

　　S圆内接四边形=√[﹙p-a﹚﹙p-b﹚﹙p-c﹚﹙p-d﹚]，[p=1/2﹙a+b+c+d﹚]，此公式叫婆罗摩笈多公式。熟悉海伦公式的可以看出，这和海伦公式三角形面积S=√[p ﹙p-a﹚﹙p-b﹚﹙p-c﹚] (p=1/2﹙a+b+c﹚)具有惊人的相似，其实海伦公式就是婆罗摩笈多公式d=0的特殊形式。

相关例题

　　例题1 :

例题1

　　在圆内接四边形ABCD中，AB=3，AD=5，BD=7，∠BDC=45°，则BC的长为_______?

　　答案

　　使用余弦定理:BD=AB+AD-2AB×AD×cosA，解得∠A=120°，

　　∵ 圆内接四边形对角互补，

　　∴ ∠C=60°，

　　使用正弦定理: BC÷sin∠BDC=BD÷sin∠C，

　　即BC÷[(√2)÷2]=7÷[(√3) / 2]

　　∴ BC=(7√6) / 3

　　例题2:

　　如图，在梯形ABCD中，AB//DC，AB>CD，K、M分别在AD、BC上，∠DAM=∠CBK，

例题2(题图)

　　求证:∠DMA=∠CKB(第二届袓冲之杯初中数学竞赛考题)

　　答案

　　证明:联结KM与BC延长线上一点E。

　　∵ ∠DAM=∠CBK

　　AKMB四点共圆

　　∵ AB//DC

　　∴ ∠DKM=∠MBA =∠DCE

　　∴ ∠AKB=∠AMB，∠DKM=∠MBA

　　∴ :CDKM四点共圆

　　∴ ∠DKC=∠CMD

例题2(答案图)

　　∴ ∠CKB=∠DMA