取整函数是指不超过实数x的最大整数称为x的整数部分，记作[x]或INT(x)。

• 中文名 取整函数
• 外文名 bracket function
• 领    域 数学
• 记    法 [x]或INT(x)
• 定    义 不超过实数x的最大整数

定义

　　不超过实数x的最大整数称为x的整数部分，记作[x]或INT(x)。

　　x-[x]称为x的小数部分，记作{x}。

　　(需要注意的是，对于负数，[x]指的并不是x小数点做左边的部分，{x}指的是x小数点右边的部分，例如对于负数-3.7，[-3.7]=-4，而不是-3，此时{x}=-3.7-(-4)=0.3，而不是-0.7.)

取整函数图象

相关概念

　　【阶梯曲线】

　　即取整函数的在定义域D=(-∞，+∞)，值域Rf=Z的图形，在x为整数值处，图形发生跳跃，越度为1。

性质

　　性质1 对任意x∈R,均有x-1<[x]≤x<[x]+1.

　　性质2 对任意x∈R,函数y={x}的值域为[0,1).

　　性质3 取整函数(高斯函数)是一个不减函数,即对任意x1,x2∈R,若x1≤x2,则[x1]≤[x2].

　　性质4 若n∈Z,x∈R,则有[x+n]=n+[x],{n+x}={x}.后一式子表明y={x}是一个以1为周期的函数.

　　性质5 若x,y∈R,则[x]+[y]≤[x+y]≤[x]+[y]+1.

　　性质6 若n∈N+,x∈R,则[nx]≥n[x].

　　性质7 若n∈N+,x∈R+,则在区间[1,x]内,恰好有[x/n]个整数是n的倍数.

　　性质8 设p为质数,n∈N+,则p在n!的质因数分解式中的幂次为

　　p(n!)=[n/p]+[n/p^2]+….

　　厄米特恒等式

取整函数公式

取整函数公式

应用

　　取整函数与微积分有着紧密联系，它在科学和工程上有广泛应用。