原根，是一个数学符号。

• 中文名 原根
• 外文名 Primitive Root
• 应用学科 数学
• 适用领域范围 数论

原根的定义

设m是正整数，a是整数，若a模m的阶等于φ(m)，则称a为模m的一个原根。（其中φ(m)表示m的欧拉函数）

　　假设一个数g对于P来说是原根，那么g^i mod P的结果两两不同,且有 1<g<P, 0<i<P,那么g可以称为是P的一个原根,归根到底就是g^(P-1) = 1 (mod P)当且仅当指数为P-1的时候成立.(这里P是素数).

　　简单来说，g^i mod p ≠ g^j mod p （p为素数）

　　其中i≠j且i, j介於1至(p-1)之间

　　则g为p的原根。

　　求原根目前的做法只能是从2开始枚举，然后暴力判断g^(P-1) = 1 (mod P)是否当且当指数为P-1的时候成立

　　而由于原根一般都不大，所以可以暴力得到.

原根的性质

1）可以证明，如果正整数(a,m) = 1和正整数 d 满足a^d≡1(mod 7)，则 d 整除 φ(m)。因此Ordm(a)整除φ(m)。在例子中，当a= 3时，我们仅需要验证 3 的 1 、2、3 和 6 次方模 7 的余数即可。

　　2）记δ = Ordm(a)，则a^1，……a^(δ-1)模 m 两两不同余。因此当a是模m的原根时，a^0,a^1，……a^(δ-1)构成模 m 的简化剩余系。

　　3）模m有原根的充要条件是m= 1,2,4,p,2p,p^n，其中p是奇质数，n是任意正整数。

　　4）对正整数(a,m) = 1，如果 a 是模 m 的原根，那么 a 是整数模n乘法群（即加法群 Z/mZ的可逆元，也就是所有与 m 互素的正整数构成的等价类构成的乘法群）Zn的一个生成元。由于Zn有 φ(m)个元素，而它的生成元的个数就是它的可逆元个数，即 φ(φ(m))个，因此当模m有原根时，它有φ(φ(m))个原根。

原根的例子

设m= 7，则φ（7）等于6。

　　设a= 2，由于2^3=8≡1(mod 7)，而3<6，所以 2 不是模 7 的一个原根。设a= 3，由于3^1≡3(mod 7)，3^2≡2(mod 7)，3^3≡6(mod 7)，3^4≡4(mod 7)，3^5≡5(mod 7)，3^6≡1(mod 7)，所以 3 是模 7 的一个原根。

　　补充一点，根据原根的性质1，只需要验证3^1，3^2，3^3，3^6即可，这样可以简化运算。