在统计学与概率论中，协方差矩阵是一个矩阵，其每个元素是各个向量元素之间的协方差。是从标量随机变量到高维度随机向量的自然推广。

• 中文名 协方差矩阵
• 外文名 Covariance matrix

简介

　　英语名：covariance matrix

　　在统计学与概率论中,，协方差矩阵是一个矩阵，其每个元素是各个向量元素之间的协方差。是从标量随机变量到高维度随机向量的自然推广。

基本概念

　　统计学里最基本的概念就是样本的均值、方差、标准差。首先，我们给定一个含有n个样本的集合，下面给出这些概念的公式描述：

　　均值：

　　标准差：

　　方差：

　　均值描述的是样本集合的中间点，它告诉我们的信息是有限的，而标准差给我们描述的是样本集合的各个样本点到均值的距离之平均。

　　以 这两个集合为例，[0, 8, 12, 20]和[8, 9, 11, 12]，两个集合的均值都是10，但显然两个集合的差别是很大的，计算两者的标准差，前者是8.3后者是1.8，显然后者较为集中，故其标准差小一些，标 准差描述的就是这种“散布度”。之所以除以n-1而不是n，是因为这样能使我们以较小的样本集更好地逼近总体的标准差，即统计上所谓的“无偏估计”。而方 差则仅仅是标准差的平方。

协方差

　　标准差和方差一般是用来描述一维数据的，但现实生活中我们常常会遇到含有多维数据的数据集，最简单的是大家上学时免不了要统计多个学科的考试成绩。 面对这样的数据集，我们当然可以按照每一维独立的计算其方差，但是通常我们还想了解更多，比如，一个男孩子的猥琐程度跟他受女孩子的欢迎程度是否存在一些 联系。协方差就是这样一种用来度量两个随机变量关系的统计量，我们可以仿照方差的定义：

　　来度量各个维度偏离其均值的程度，协方差可以这样来定义：

　　协 方差的结果有什么意义呢？如果结果为正值，则说明两者是正相关的（从协方差可以引出“相关系数”的定义），也就是说一个人越猥琐越受女孩欢迎。如果结果为 负值， 就说明两者是负相关，越猥琐女孩子越讨厌。如果为0，则两者之间没有关系，猥琐不猥琐和女孩子喜不喜欢之间没有关联，就是统计上说的“相互独立”。

　　从协方差的定义上我们也可以看出一些显而易见的性质，如：

范例

　　假设 X 是以 n 个标量随机变量组成的列向量，并且μk 是其第k个元素的期望值，即，μk

　　= E(xk)，协方差矩阵然后被定义为：

　　Σ=E=(如图)  

　　矩阵中的第(i,j)个元素是xi与xj的协方差。这个概念是对于标量随机变量方差的一般化推广。

　　尽管协方差矩阵很简单，可它却是很多领域里的非常有力的工具。它能导出一个变换矩阵，这个矩阵能使数据完全去相关(decorrelation)。从不同的角度看，也就是说能够找出一组最佳的基以紧凑的方式来表达数据。(完整的证明请参考瑞利商)。 这个方法在统计学中被称为主成分分析(principal components analysis)，在图像处理中称为Karhunen-Loève 变换(KL-变换)。