匈牙利算法是由匈牙利数学家Edmonds于1965年提出，因而得名。匈牙利算法是基于Hall定理中充分性证明的思想，它是部图匹配最常见的算法，该算法的核心就是寻找增广路径，它是一种用增广路径求二分图最大匹配的算法。

• 中文名 匈牙利算法
• 提出者 Edmonds
• 提出时间 1965
• 算法的核心 寻找增广路径

简介

　　设G=(V,E)是一个无向图。如顶点集V可分割为两个互不相交的子集V1,V2

　　选择这样的子集中边数最大的子集称为图的最大匹配问题(maximal matching problem)

　　如果一个匹配中，|V1|<=|V2|且匹配数|M|=|V1|则称此匹配为完全匹配，也称作完备匹配。特别的当|V1|=|V2|称为完美匹配。

概念

　　在介绍匈牙利算法之前还是先提一下几个概念，下面M是G的一个匹配。

　　M-交错路:p是G的一条通路，如果p中的边为属于M中的边与不属于M但属于G中的边交替出现，则称p是一条M-交错路。如:路径(X3,Y2,X1,Y4)，(Y1,X2,Y3)。

　　M-饱和点:对于v∈V(G)，如果v与M中的某条边关联，则称v是M-饱和点，否则称v是非M-饱和点。如X1，X2，Y1，Y2都属于M-饱和点，而其它点都属于非M-饱和点。

　　M-可增广路:p是一条M-交错路，如果p的起点和终点都是非M-饱和点，则称p为M-可增广路。如(X3,Y2,X1,Y4)。(不要和流网络中的增广路径弄混了)

　　求最大匹配的一种显而易见的算法是:先找出全部匹配，然后保留匹配数最多的。但是这个算法的时间复杂度为边数的指数级函数。因此，需要寻求一种更加高效的算法。下面介绍用增广路求最大匹配的方法(称作匈牙利算法，匈牙利数学家Edmonds于1965年提出)。

　　增广路的定义(也称增广轨或交错轨):

　　若P是图G中一条连通两个未匹配顶点的路径，并且属于M的边和不属于M的边(即已匹配和待匹配的边)在P上交替出现，则称P为相对于M的一条增广路径。

　　由增广路的定义可以推出下述三个结论:

　　1-P的路径个数必定为奇数，第一条边和最后一条边都不属于M。

　　2-将M和P进行取反操作可以得到一个更大的匹配M'。

　　3-M为G的最大匹配当且仅当不存在M的增广路径。

　　算法轮廓:

　　⑴置M为空

　　⑵找出一条增广路径P，通过异或操作获得更大的匹配M'代替M

　　⑶重复⑵操作直到找不出增广路径为止

复杂度

　　时间复杂度邻接矩阵:最坏为O(n^3)邻接表:O(mn)

　　空间复杂度 邻接矩阵:O(n^2) 邻接表:O(m+n)

样例程序

　　格式说明

　　输入格式:

　　第1行3个整数，V1,V2的节点数目n1,n2,G的边数m

　　第2-m+1行，每行两个整数t1,t2，代表V1中编号为t1的点和V2中编号为t2的点之间有边相连

　　输出格式:

　　1个整数ans，代表最大匹配数

　　邻接矩阵-C

　　邻接矩阵-pascal

　　邻接表-C++

　　邻接矩阵-C++

　　邻接表-pascal(使用动态链表)

　　(方法基于之前的邻接矩阵-pascal)