根的判别式是判断方程实根个数的公式，在解题时应用十分广泛，涉及到解系数的取值范围、判断方程根的个数及分布情况等。一元二次方程ax^2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式是b^2-4ac，用“Δ”表示(读做“delta”)。

• 中文名 判别式
• ​定义 均可配成，因为a≠0，由平方根的意义可知，的符号可决定一元二次方程根的情况．叫做一元二次方程的根的判别式，用“△”表示(读做“dealt”)，即△=
• 涉及 到解系数的取值范围、判断方程根的分布情况等
• 意义 判断方程实根个数的公式，在解题时应用十分广泛

信息定义

　　任意一个一元二次方程均可配成，因为a≠0，由平方根的意义可知，符号可决定一元二次方程根的情况．叫做一元二次方程的根的判别式，用“△”表示(读做“delta”)，即△=．如ax^2+bx+c=0(a≠0)中，△=b^2-4ac

根的情况判别

　　（1）当△>0时，方程有两个不相等的实数根；

　　（2）当△=0时，方程有两个相等的实数根；

　　（3）当△<0时，方程没有实数根；

　　（4）当△=㎡（m为有理数）时，方程有有理数根。

判别式

　　（1）和（2）合起来：当△≥0时，方程有实数根．

　　上面结论反过来也成立．可以具体表示为：

　　在一元二次方程

　　（a≠0，a、b、c∈R）中，

　　①当方程有两个不相等的实数根时，△＞0；

　　②当方程有两个相等的实数根时，△=0；

　　③当方程没有实数根时，△＜0；

　　4当方程有有理数根时，当△=㎡（m为有理数）。

　　一元二次方程求根公式：

　　当Δ=≥0时，

　　当Δ=0时，(i是虚数单位)

判别式

　　一元二次方程配方法：

　　(a,b,c是常数)

主要应用

　　2 一元二次方程的判别式的应用

　　（1）不解方程，判别一元一次方程根的情况．

　　它有两种不同层次的类型：

　　①系数都为数字；

　　②系数中含有字母；

　　③系数中的字母人为地给出了一定的条件．

　　（2）根据一元二次方程根的情况，确定方程中字母的取值范围或字母间关系．

　　（3）应用判别式证明方程根的情况（有实根、无实根、有两不等实根、有两相等实根）

　　应用

　　① 解一元二次方程，判断根的情况。

　　② 根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围。

　　③ 证明字母系数方程有实数根或无实数根。

　　④ 应用根的判别式判断三角形的形状。

　　⑤ 判断当字母的值为何值时，二次三项式是完全平方式

　　⑥ 可以判断抛物线与直线有无公共点

　　联立方程。

　　⑦ 可以判断抛物线与x轴有几个交点

　　抛物线

　　与x轴的交点 （1）当y=0时，即有，要求x的值，需解一元二次方程。可见，抛物线与x轴的交点的个数是由对应的一元二次方程的根的情况确定的，而决定一元二次方程的根的情况的，是它的判别式的符号，因此抛物线与x轴的交点有如下三种情形：

　　1） 当Δ0时，抛物线与x轴有两个交点，若此时一元二次方程

　　的两根为x1、x2，则抛物线与x轴的两个交点坐标为（x1，0）（x2，0）。

　　2）当Δ=0时，抛物线与x轴有唯一交点，此时的交点就是抛物线的顶点，其坐标是（

　　,0）。

　　3）当 Δ0时，抛物线与x轴没有交点。

　　⑧ 利用根的判别式解有关抛物线（Δ0）与x轴两交点间的距离的问题.

　　⑨当a0时，抛物线开口向上，当a0时，抛物线开口向下。

一元三次方程式判别式

　　在特殊形式的一元三次方程x^3+bx+c=0中，其判别式为。当时，有一个实根和两个复根；时，有三个实根，当时，有一个三重零根，时，三个实根中有两个相等；时，有三个不等实根。

　　在一般形式的一元三次方程ax^3+bx^2+cx+d=0中，一般采用盛金判别法，即

　　令。

　　当A=B=0时，方程有一个三重实根。

　　当Δ=B2－4AC>0时，方程有一个实根和一对共轭虚根。

　　当Δ=B2－4AC=0时，方程有三个实根，其中有一个二重根。

　　当Δ=B2－4AC<0时，方程有三个不相等的实根。