分离参数法(Separation parameter method)，数学术语，是求参数的取值范围的一种常用方法。

• 中文名称 分离参数法
• 外文名称 Separation parameter method
• 别名 参变分离
• 类别 方程式

方法概述

　　通过分离参数，用函数观点讨论主变量的变化情况，由此我们可以确定参数的变化范围.这种方法可以避免分类讨论的麻烦，从而使问题得以顺利解决.分离参数法在解决有关不等式恒成立、不等式有解、函数有零点、函数单调性中参数的取值范围问题时经常用到.解题的关键是分离出参数之后将原问题转化为求函数的最值或值域问题.

　　注意:不要与"分离常数法"混为一谈!

应用举例

　　例1.设函数f(x)=ax^2-3x+1 对于x∈[-1，1] 总有f(x)≥0 成立，求a 的取值范围.

　　解:对于x∈[-1，1]，

　　ax^2-3x+1≥ 0.

　　故ax^2≥ 3x-1.

　　当x= 0时显然成立;

　　若x不为0，则有 a≥ (3x-1) / x^2 = 3/x-1/x^2 =9/4- (1/x-3/2)^2

　　设t =1/x，则 t∈(- ∞,-1]∪[1, + ∞);

　　再设g(t) =9/4 - (t -3/2)^2.

　　g(t)的图象是一开口向下的抛物线，在t = 3/2取最大值.

　　故g(t)≤g(3/2) = 9/4.

　　也就是说对于x∈[-1，1]且x≠0，(3x-1) / x^2≤9/4.

　　∴ a≥9/4. 例2.讨论关于x的方程:lg(x-1)+lg(4-x)=lg(a-x)的实数解的个数.

　　解: 原方程可化为:

　　(x-1)(4-x)=a-x (1<x<4)

　　a=-x^2+6x-4=-(x-3)^ 2+5 (1<x<4)

　　因为f(x)=-(x-3) ^2+5的单调区间为:(1，3]，(3，4)

　　当x∈(1，3]时，f(x)∈(1，5];

　　当x∈(3，4)时，f(x)∈(4，5);

　　所以:当a∈(4，5)时，方程有两解;

　　当a∈(1，4)或5时，方程有一解;

　　当a∈(-∞，1]∪(5，+∞)时，原方程无解.例4. 已知函数f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数，f(1)=1, 若对a, b∈[-1,1] ,且a+b≠0,

分离参数法例3

　　恒有(f(a)+f(b))/(a+b)>0

　　(1) 判断f(x)在区间[-1，1]上的单调性.

　　(2) 若f(x)≤a-2am+1对x∈[-1，1]，a∈[1，3]恒成立，求m的取值范围.

　　解:(1)易知f(x)在区间[-1，1]上为增函数.

　　(2)由(1)知，f(x)在[-1，1]上单调递增，且f(1)=1，则f(x)在[-1，1]上最大值为1.

　　∵f(x)≤a-2am+1对x∈[-1，1]，a∈[1，3]恒成立，

　　则只需a^2-2am+1≥1，即a^2-2am≥0对a∈[1，3]恒成立，

　　即2m≤a对a∈[1，3]恒成立，∴2m≤1,m≤1/2

　　综上所述，m的取值范围为(-∞， 1/2].