• 中文名 函数极限
• 极限 唯一性

概念

　　函数极限可以分成x→∞,x→+∞,x→-∞,x→Xo,，而运用ε-δ定义更多的见诸于已知极限值的证明题中。掌握这类证明对初学者深刻理解运用极限定义大有裨益。以x→Xo 的极限为例，f(x) 在点Xo 以A为极限的定义是： 对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数δ ，使得当x满足不等式0<|x-x。|<δ 时，对应的函数值f(x)都满足不等式： |f(x)-A|<ε ，那么常数A就叫做函数f(x)当 x→x。时的极限。

函数极限

　　问题的关键在于找到符合定义要求的 ，在这一过程中会用到一些不等式技巧，例如放缩法等。1999年的研究生考试试题中，更是直接考察了考生对定义的掌握情况。详见附例1。

　　函数极限性质的合理运用。常用的函数极限的性质有函数极限的唯一性、局部有界性、保序性以及函数极限的运算法则和复合函数的极限等等。如函数极限的唯一性（若极限 存在，则在该点的极限是唯一的）

定义

　　设函数y=f（x）在点X0的某个去心领域中有定义，即存在ρ>0，使

　　O（X0，ρ）{X0}。

　　如果存在实数A，对于任意给定的ε>0，可以找到δ>0，使得当0<|x-x0|<δ时，成立

　　│f(x)-A│<ε ,

　　则称数A为函数f(x)当x→+∞时的极限，记作

　　f(x)→A(x→+∞).

　　例y=1/x，x→+∞时极限为y=0

　　函数极限是高等数学最基本的概念之一，导数等概念都是在函数极限的定义上完成的。

　　极限符号可记为lim

存在准则

　　有些函数的极限很难或难以直接运用极限运算法则求得，需要先判定。下面介绍几个常用的判定数列极限的定理。

　　1.夹逼定理：（1）当x∈U(Xo,r)(这是Xo的去心邻域，有个符号打不出）时，有g（x)≤f(x)≤h(x)成立

　　（2）g(x)—>Xo=A,h(x)—>Xo=A,那么，f(x)极限存在，且等于A

　　不但能证明极限存在，还可以求极限，主要用放缩法。

　　2.单调有界准则：单调增加（减少）有上（下)界的数列必定收敛。

　　在运用以上两条去求函数的极限时尤需注意以下关键之点。一是先要用单调有界定理证明收敛，然后再求极限值。二是应用夹挤定理的关键是找到极限值相同的函数 ，并且要满足极限是趋于同一方向 ，从而证明或求得函数 的极限值。

　　3.柯西准则

　　数列收敛的充分必要条件是任给ε>0,存在N(ε),使得当n>N,m>N时，都有|am-an|<ε成立。

方法

　　①

　　利用函数连续性：lim f(x) = f(a) x->a

　　（就是直接将趋向值带出函数自变量中，此时要要求分母不能为0）

　　②恒等变形

　　当分母等于零时，就不能将趋向值直接代入分母，可以通过下面几个小方法解决：

　　第一：因式分解，通过约分使分母不会为零。

　　第二：若分母出现根号，可以配一个因子使根号去除。

　　第三：以上我所说的解法都是在趋向值是一个固定值的时候进行的，如果趋向于无穷，分子分母可以同时除以自变量的最高次方。（通常会用到这个定理：无穷大的倒数为无穷小）

　　当然还会有其他的变形方式，需要通过练习来熟练。

　　③通过已知极限

　　特别是两个重要极限需要牢记。