共轭梯度法(Conjugate Gradient)是介于最速下降法与牛顿法之间的一个方法，它仅需利用一阶导数信息，但克服了最速下降法收敛慢的缺点，又避免了牛顿法需要存储和计算Hesse矩阵并求逆的缺点，共轭梯度法不仅是解决大型线性方程组最有用的方法之一，也是解大型非线性最优化最有效的算法之一。 在各种优化算法中，共轭梯度法是非常重要的一种。其优点是所需存储量小，具有步收敛性，稳定性高，而且不需要任何外来参数。

• 中文名 共轭梯度法
• 外文名 Conjugate gradient method
• 人物 Hestenes和Stiefle
• 时间 1952
• 用于 解正定系数矩阵的线性方程组

简介

　　共轭梯度法最早是由Hestenes和Stiefle提出来在这个基础上，Fletcher和Reeves (1964)首先提出了解非线性最优化问题的共轭梯度法。由于共轭梯度法不需要矩阵存储，且有较快的收敛速度和二次终止性等优点，现在共轭梯度法已经广泛地应用于实际问题中。

共轭梯度法

　　共轭梯度法是一个典型的共轭方向法，它的每一个搜索方向是互相共轭的，而这些搜索方向d仅仅是负梯度方向与上一次迭代的搜索方向的组合，因此，存储量少，计算方便

算法介绍

　　又称共轭斜量法，是解线性代数方程组和非线性方程组的一种数值方法，例如对线性代数方程组 Ax=ƒ, (1)式中A为n阶矩阵，x和ƒ为n维列向量,当A对称正定时,可以证明求(1)的解X*和求二次泛函

　　的极小值问题是等价的。此处(x,у)表示向量x和у的内积。由此，给定了初始向量x(0)，按某一方向去求(2)式取极小值的点x(1),就得到下一个迭代值x(2),再由x(2)出发，求x(3)等等，这样来逼近x*。若取求极小值的方向为F在 x(k=1,2,…)处的负梯度方向就是所谓最速下降法，然而理论和实际计算表明这个方法的收敛速度较慢，共轭梯度法则是在 x(k-1)处的梯度方向r(k-1)和这一步的修正方向p(k-1)所构成的二维平面内，寻找使F减小最快的方向作为下一步的修正方向p(k),即求极小值的方向p(其第一步仍取负梯度方向)。计算公式为

　　再逐次计算(k=1,2,…)。可以证明当i≠j时，

公式

　　从而平p(1),p(2)形成一共轭向量组;r(0),r(1),…形成一正交向量组。后者说明若没有舍入误差的话，至多 n次迭代就可得到(1)的精确解。然而在实际计算中,一般都有舍入误差，所以r(0),r(1),…并不真正互相正交，而尣(0)尣(1),…等也只是逐步逼近(1)的真解,故一般将共轭梯度法作为迭代法来使用。

　　近来在解方程组(1)时,常将共轭梯度法同其他一些迭代法结合作用。特别是对病态方程组这种方法往往能收到比较显著的效果。其方法是选取一对称正定矩阵B并进行三角分解，得B=LLT。将方程组(1)化为 hу=b, (3)

　　此处y=lTx,b=l-1ƒ,h=l-1Al-T,而

　　再对(3)用共轭梯度法，计算公式为

　　k=0,1,2,…)适当选取B，当B很接近A时，h的条件数较之A大大减小,从而可使共轭梯度法的收敛速度大为加快，由一些迭代法的矩阵分裂A=M -N，可选取M 为这里的B，例如对称超松弛迭代(SSOR)，强隐式迭代(SIP)等,这类方法常称为广义共轭梯度法或预条件共轭梯度法，它也可用于解代数特征值问题。

公式