倍角公式，是三角函数中非常实用的一类公式。就是把二倍角的三角函数用本角的三角函数表示出来。在计算中可以用来化简计算式、减少求三角函数的次数，在工程中也有广泛的运用。

• 中文名 倍角公式
• 外文名 Double angle formula
• 概念 三角函数中非常实用的一类公式
• 分类 二倍角，和差，三倍角

百科名片

　　倍角公式，是三角函数中非常实用的一类公式。就是把二倍角的三角函数用本角的三角函数表示出来。在计算中可以用来化简计算式、减少求三角函数的次数，在工程中也有广泛的运用。

概念

　　倍角公式是三角函数中非常实用的一类公式。

公式

　　现列出公式如下：

倍角公式

　　sin2α=2sinαcosα

　　tan2α=2tanα/（1-tan^2（α））

　　cos2α=cos^2（α）-sin^2（α）=2cos^2（α）-1=1-2sin^2（α）

　　可别轻视这些字符，它们在数学学习中会起到重要作用。包括一些图像问题和函数问题中

　　注：cos之类字符后出现的尖状物体意思为这个字符的²

　　1.和差公式

　　sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ

　　sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ

　　cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ

　　cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ

　　tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)

　　tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanαtanβ）

公式分类

二倍角公式

　　tan2A=2tanA/(1-tan2A)

　　cot2A=(cot2A-1)/2cotA

　　cos2A=cos²A-sin²A=2cos²A-1=1-2sin²A

　　和差公式

　　​三倍角公式 

　　​半角公式

　　​万能公式

　　​积化和差公式

　　​和差化积公式

其他

四倍角公式

　　sin4A=-4*(cosA*sinA*（2*sinA^2-1））

　　cos4A=1+(-8*cosA^2+8*cosA^4）

　　tan4A=（4*tanA-4*tanA^3）/（1-6*tanA^2+tanA^4）

五倍角公式

　　sin5A=16sinA^5-20sinA^3+5sinA

　　cos5A=16cosA^5-20cosA^3+5cosA

　　tan5A=tanA*（5-10*tanA^2+tanA^4）/（1-10*tanA^2+5*tanA^4）

六倍角公式

　　sin6A=2*(cosA*sinA*（2*sinA+1）*（2*sinA-1）*(-3+4*sinA^2））

　　cos6A=((-1+2*cosA^2）*（16*cosA^4-16*cosA^2+1））

　　tan6A=(-6*tanA+20*tanA^3-6*tanA^5）/(-1+15*tanA^2-15*tanA^4+tanA^6）

七倍角公式

　　sin7A=-(sinA*（56*sinA^2-112*sinA^4-7+64*sinA^6））

　　cos7A=(cosA*（56*cosA^2-112*cosA^4+64*cosA^6-7））

　　tan7A=tanA*(-7+35*tanA^2-21*tanA^4+tanA^6）/(-1+21*tanA^2-35*tanA^4+7*tanA^6）

八倍角公式

　　sin8A=-8*(cosA*sinA*（2*sinA^2-1）*(-8*sinA^2+8*sinA^4+1））

　　cos8A=1+（160*cosA^4-256*cosA^6+128*cosA^8-32*cosA^2）

　　tan8A=-8*tanA*(-1+7*tanA^2-7*tanA^4+tanA^6）/（1-28*tanA^2+70*tanA^4-28*tanA^6+tanA^8）

九倍角公式

　　sin9A=(sinA*(-3+4*sinA^2）*（64*sinA^6-96*sinA^4+36*sinA^2-3））

　　cos9A=(cosA*(-3+4*cosA^2）*（64*cosA^6-96*cosA^4+36*cosA^2-3））

　　tan9A=tanA*（9-84*tanA^2+126*tanA^4-36*tanA^6+tanA^8）/（1-36*tanA^2+126*tanA^4-84*tanA^6+9*tanA^8）

十倍角公式

　　sin10A=2*(cosA*sinA*（4*sinA^2+2*sinA-1）*（4*sinA^2-2*sinA-1）*(-20*sinA^2+5+16*sinA^4））

　　cos10A=((-1+2*cosA^2）*（256*cosA^8-512*cosA^6+304*cosA^4-48*cosA^2+1））

　　tan10A=-2*tanA*（5-60*tanA^2+126*tanA^4-60*tanA^6+5*tanA^8）/(-1+45*tanA^2-210*tanA^4+210*tanA^6-45*tanA^8+tanA^10）

N倍角公式

　　根据棣美弗定理，（cosθ+ i sinθ）^n = cos(nθ）+ i sin(nθ）

　　为方便描述，令sinθ=s，cosθ=c

　　考虑n为正整数的情形：

　　cos(nθ）+ i sin(nθ）

　　= (c+ i s)^n

　　= C(n,0)*c^n + C(n,2）*c^(n-2）*(i s)^2 + C(n,4）*c^(n-4）*(i s)^4 + ...

　　+C(n,1）*c^(n-1）*(i s)^1 + C(n,3）*c^(n-3）*(i s)^3 + C(n,5）*c^(n-5）*(i s)^5 + ...

　　=>；比较两边的实部与虚部

　　实部：cos(nθ）=C(n,0)*c^n + C(n,2）*c^(n-2）*(i s)^2 + C(n,4）*c^(n-4）*(i s)^4 + ...

　　i*（虚部）：i*sin(nθ）=C(n,1）*c^(n-1）*(i s)^1 + C(n,3）*c^(n-3）*(i s)^3 + C(n,5）*c^(n-5）*(i s)^5 + ...

　　对所有的自然数n，

　　⒈cos(nθ）：

　　公式中出现的s都是偶次方，而s^2=1-c^2（平方关系），因此全部都可以改成以c（也就是cosθ）表示。

　　⒉sin(nθ）：

　　⑴当n是奇数时：

　　公式中出现的c都是偶次方，而c^2=1-s^2（平方关系），因此全部都可以改成以s（也就是sinθ）表示。

　　⑵当n是偶数时：

　　公式中出现的c都是奇次方，而c^2=1-s^2（平方关系），因此即使再怎么换成s，都至少会剩c（也就是 cosθ）的一次方无法消掉。

　　（例. c^3=c*c^2=c*（1-s^2），c^5=c*(c^2）^2=c*（1-s^2）^2）[2]

特殊公式

　　（sina+sinθ）*（sina-sinθ）=sin（a+θ）*sin（a-θ）

　　证明：（sina+sinθ）*（sina-sinθ）=2 sin[（θ+a)/2] cos[(a-θ)/2] *2 cos[（θ+a)/2] sin[(a-θ）/2]

　　=sin（a+θ）*sin（a-θ）