代数几何研究就是平面解析几何与三维空间解析几何的推广。大致说来，它是研究n维仿射空间或n维射影空间中多项式方程组的零点集合构成的几何对象之特性及其上的三大结构:代数结构，拓扑结构和序结构。此三大结构是Bourbaki学派(布尔巴基)所提出，用来统摄结构数学，数学中凡是具有结构特征的板块，均由这三大母结构及其混合构成。

• 中文名 代数几何学
• 性    质 几何学
• 属    性 代数
• 世    纪 20世纪

简介

　　代数几何到底研究什么呢。简单的说，就是研究n维仿射空间或n维射影空间中多项式方程组的零点及其上的三大结构：代数结构，拓扑结构和序结构。此三大结构系Bourbaki学派提出，用来统摄结构数学，数学中凡是具有结构特征的板块，均由这三大母结构及其混合构成。对于1元n次方程的解，有很好的结果，即代数学基本定理：在复数域C内，任意1元n次方程一定有n个零点（重复了几次算几重）。但是，若把情况改变一下，由1元变成 n元，复数域变成任意基域K，现要讨论由m个n元方程构成的方程组在K内的公共零点的情况，容易发现，情况要比1元时复杂得多，此时，用窗同的方法已无济于事，必须创造新的方法，融入新的思想。正是这样的内在的发展要求，使得代数几何在20世纪发生了一场革命，即库恩意义上的范式的彻底改变。其中蕴涵的新的数学思想，不仅革新了代数几何本身，而且也革新了整个数学界的思考方式，给经典的数学家们在思想上带来了深深的震撼！

代数几何学

　　空间的概念复人们来说是熟悉的。人们生活的空间是包含在上下、前后、左右之中的。如果需要描述人们所处的空间中的某一位置，就需要用三个方向来表示，这个意思也就是说空间是“三维”的。 在数学中经常用到“空间”这个概念，它指的范围很广，一般指某种对象（现象、状况、图形、函数等）的任意集合，只要其中说明了“距离”或“邻域”的概念就可以了。而所谓“维”的概念，如果人们所谈到的只是简单的几何图形，如点、线、三角形和多边形……，那么理解维的概念并不困难：点的维数是零；一条线段的维数是一；一个三角形的维数是二；一个立方体内所有点的集合的是三维的。

　　如果把维度的概念扩充到任意点集合上去的时候，维的概念就不那么容易理解了。比如，什么是四维空间呢？关于四维空间，中国古代有一些说法是很有意思的。最典型的就是对于“宇宙”两字的解释，古人的说法是“四方上下曰宇，古往今来曰宙”，用现在的话说就是，四维空间是在三维空间的基础上再加上时间维作为并列的第四个坐标。

　　爱因斯坦认为每一瞬间三维空间中的所有实物在占有一定的位置就是四维的。比如人们所住的房子，就是由长度、宽度、高度、和时间制约的。所谓时间制约就是从盖房的时候算起，直到最后房子倒塌为止。

　　根据上边的说法，几何学和其它科学研究的 n维空间的概念，就可以理解成由空间的点的 n个坐标决定。这个空间的图形就定义成满足这个或那个条件的点的轨迹。一般来说，某个图形由 n个条件给出，那么这个图形就是某个 n维的点。至于这个图形到底是什么形象，是否能想象得出来，对数学来说是无关紧要的。

　　几何学中的“维”的概念，实际上就是构成空间的基本元素，也就是点的活动的自由度，或者说是点的坐标。所谓 n维空间，经常是用来表示超出通常的几何直观范围的数学概念的一种几何语言。

　　从上面的介绍可以看出，几何中的元素可用代数中的是数来表示，代数问题如果通过几何的语言给与直观的描述，有时候可以给代数问题提示适当的解法。比如解三元一次方程组，就可以认为是求解三个平面的交点问题。

内容

代数几何学

　　用代数的方法研究几何的思想，在继出现解析几何之后，又发展为几何学的另一个分支，这就是代数几何。代数几何学研究的对象是平面的代数曲线、空间的代数曲线和代数曲面。 随着数学的发展，人们对高维空间的需要越来越明显，所以，代数几何中对高维代数簇的研究已不可避免，而且意大利几何学派的代数几何不够严密，急需牢靠的理论基础来支撑其只管的思想，意大利几何学派在分类代数曲面上已经走到了尽头。而在同时期，数学的另外一个分之，代数数论却涌现出了许多新的思想，出现迅猛发展的势态。（经典）代数数论是研究代数数域和它的代数整数环的代数和算术性质的，而高维代数簇是基本域K上代数方程组的解，比如一维代数簇就是K上的代数曲线，考虑代数簇上的整数点，这就成了数论问题，又根据德国F·Klein的Erlanger 纲领，几何学是研究某些数学对象在某个群作用不变量的理论，如果要寻找代数几何中的作用群的话，那么就代数簇之间的双有理变化群。所以，代数几何学的抽象化已经成了它继续向前发展的巨大动力和迫切需要。

　　对其抽象化的工具也正在夜以继日的被锻造，抽象代数学之母E·Noether及其学派发展了一整套强大的抽象工具，E·Noether的学生Van·Der·Waerden首先把抽象代数学引进代数几何里，接下来的一位重要人物是Zariski，他先是从师于意大利代数几何学派的Castelnuovo，但是对此学派工作的不严密性耿耿于怀，从而促使他立意改造古典的代数几何，先是在Lefchetz的影响下用拓扑工具处理代数几何问题，但成效不大，后来了解到E·Noether及其学派的工作，大为振奋，遂集中精力运用代数方法重新改写古典的代数几何，<代数曲面>一书的完成标志着代数几何的抽象化真正开始了，也标志着代数几何研究进入了Zariski时代，从这时起，代数几何里开始人才辈出，并且法国的Bourbaki学派在以后代数几何学发展的光辉岁月里扮演了一个主要角色，Bourbaki学派的主要代表人物之一Weil用更加抽象的观点写了一部《代数几何基础》，Weil的本意是想用有限域上的代数几何学来解决代数数论的问题，却不料搞出了个Weil猜想（不是Deligne证明的那个Weil conjecture），为了证明这个猜想就特意写了这部抽象的书，从此，代数几何又进入了Bourbaki时代。后来Serre评价那部书时说：这本三百页的巨著很难懂，而在20年后又被Grothendieck的更加难懂的<代数几何原理>所代替“这个《代数几何原理》就是江湖上传说的EGA。 Weil在书中充分使用了E。Noether及其学派发展的交换代数理论和语言，提出了代数几何里的一些重要概念，是代数几何学发展中的一个里程碑。

　　所幸的是，书写出来后，先前那个猜想也被Weil证明了，这个事件意义重大预示了以后的Bourbaki精神为了抽象而抽象，而是有着具体的问题背景的，以此为出发点的抽象才是有意义的抽象，才有成效性，才能用来解决更加困难的问题。代数几何沿着Weil的道路进行着它的抽象化征程，其间，Kodaira用调和积分理论将Riemann-Roch定理由曲线推广到曲面，德国数学家Hirzebruch不久又用sheaf的语言和拓扑成果把它推广到高维复流形上，J-P.Serre在sheaf的基础上定义了一般的代数簇，使得代数簇成为具有Zariski拓扑的拓扑空间，从而在代数几何里引入了日后起重要作用的上同调理论，不过，Serre在代数几何里最重要的贡献，我觉得是吸引Grothendick到代数几何里来。自从Grothendick介入代数几何后，代数几何的面貌完全改观，尽管在代数几何里王者辈出，但是，大家心目中的教皇只有一个，那就是伟大的Grothendick。 Grothendick是法国数学家，Bourbaki成员，1928年生于德国柏林，由于第二次世界大战，致使他没有受到正规的大学阶段的数学训练。

　　1953年以前主要致力于泛函分析，创造了核空间，拓扑张量积等概念，这些概念现在在泛函分析里十分基本和重要，一系列深刻的泛函分析工作就足以使他跻身于数学界的巨人行列，但是，他的影响更为深远的工作是后来在代数几何上划时代的贡献，代数几何学经过Van。Der。Waerden，Zariski， Weil和Serre等人的推广，代数簇已经完全抽象化了，但是，代数簇最彻底的推广则是Grothendick在20世纪50年代末做出的，这就是他的抽象概型理论和强有力的上同调理论。仿射概型（Affine Schemes）是一个局部戴环空间（X，Ox），而且它同构于（作为局部戴环空间）某个环的谱。

　　概型是局部戴环空间，在它中每点有一个开邻域U使得拓扑空间U和限制层Ox|U是一个Affine Schemes，X叫做概型（X，Ox）的承载拓扑空间，Ox叫做它的结构层。例如，若K是域，Spec K则是一个Affine Schemes，它的拓扑空间由一点组成，它的结构层由域K组成。Grothendick为了给它的这座大厦打下坚实的基础，和他的老师 Dieudonne合作写了一部四卷本的巨著，总共有7本书，这就是前面Serre提到过的”更加难懂的《代数几何原理》“，(《Ele’ments de Ge’ome’trie Alge’brique 》简称EGA，道上的朋友只要听到EGA，就知道你要说什么了)，这是世界上概型和上同调最权威的参考文献，Dieudonne评价说：” Clearly， the theory of schemes includes ，by definition， all of commutative algebra as well as all of the theory of the varieties of Serre。“Scheme把代数几何和代数数域的算术统一到一个共同的语言之下，使得在代数数论的研究中可以应用代数几何中的大量概念和思想以及技巧。

历史

代数几何学

　　Dieudonne把代数几何学的历史分为七个时期：前史（prehistory，Ca.400BC-1630A.D），探索阶段（Exploration，1630-1795），射影几何的黄金时代（1795-1850），Riemann和双有理几何的时代（1850- 1866），发展和混乱时期（1866-1920），涌现新结构和新思想的时期（1920-1950），最后的一个阶段，也就是代数几何史上最辉煌的时期，层（sheaf）和概形（Scheme）的时代（1950-）。 代数几何学的对象原来是欧氏平面中的代数曲线，即由多项式P（x，y）=0定义的轨迹，比如最简单的代数曲线——直线和圆，古希腊时代就已经在研究圆锥曲线和一些简单的三次，四次代数曲线了。承前述可以看出，研究代数方程组的公共零点集离不开坐标表示，所以，真正意义上的研究还得从Descartes和Fermat创立几何图形的坐标表示开始说起，但这已经是17世纪的事情了。解析几何学对于代数曲线和曲面已经有相当完整的结果了，从Newton开始已着手对三次代数曲线进行分类，得出72类，从这时起，分类问题便成为代数几何中的知道性问题了，这些问题成为大量研究工作的推动力。但是，反过来，正是由于对三次的或四次的代数曲线进行的分类过于繁复，从而推动了解析几何学向代数几何学的过度，也就是在更加粗糙的水平上进行分类和进行一般的理论研究。18世纪，AG（代表代数几何，以下类同）的基本问题是代数曲线和曲面的相交问题，相当于代数方程组中的消元问题，这个时期得到的基本成果是Bezout定理：设X，Y是P^2中两支不同的曲线，次数分别为d和e，令X#Y={P_1， P_2，......P_s}，则Sigama[j is from 1 to s] i(X，Y;P_j)=de。

　　随着19世纪射影几何学的兴起，开始用射影几何方法来研究代数曲线，其中引进了无穷远点及虚点和用齐次多项式及射影坐标P （X_0，X_1，X_2)=0来表示代数曲线，并且允许出现复坐标，1834年，德国数学家普吕克尔得出关于平面曲线的普吕克尔公式，这个公式把平面代数曲线的代数特征和几何特征联系起来了，如次数和拐点数等，特别是由此证明了一般三次代数曲线皆有9个拐点，1839年，他还发现四次曲线有28条二重切线，其中至多8条是实的。上面就是前三个阶段代数几何学的一个概貌。

发展

代数几何学

　　代数几何学的兴起，主要是源于求解一般的多项式方程组，开展了由这种方程组的解答所构成的空间，也就是所谓代数簇的研究。解析几何学的出发点是引进了坐标系来表示点的位置，同样，对于任何一种代数簇也可以引进坐标，因此，坐标法就成为研究代数几何学的一个有力的工具。 代数几何的研究是从19世纪上半叶关于三次或更高次的平面曲线的研究开始的。例如，阿贝尔在关于椭圆积分的研究中，发现了椭圆函数的双周期性，从而奠定了椭圆曲线理论基础。

　　黎曼1857年引入并发展了代数函数论，从而使代数曲线的研究获得了一个关键性的突破。黎曼把他的函数定义在复数平面的某种多层复迭平面上，从而引入了所谓黎曼曲面的概念。运用这个概念，黎曼定义了代数曲线的一个最重要的数值不变量：亏格。这也是代数几何历史上出现的第一个绝对不变量。

　　在黎曼之后，德国数学家诺特等人用几何方法获得了代数曲线的许多深刻的性质。诺特还对代数曲面的性质进行了研究。他的成果给以后意大利学派的工作建立了基础。

　　从19世纪末开始，出现了以卡斯特尔诺沃、恩里奎斯和塞维里为代表的意大利学派以及以庞加莱、皮卡和莱夫谢茨为代表的法国学派。他们对复数域上的低维代数簇的分类作了许多非常重要的工作，特别是建立了被认为是代数几何中最漂亮的理论之一的代数曲面分类理论。但是由于早期的代数几何研究缺乏一个严格的理论基础，这些工作中存在不少漏洞和错误，其中个别漏洞直到还没有得到弥补。

　　20世纪以来代数几何最重要的进展之一是它在最一般情形下的理论基础的建立。20世纪30年代，扎里斯基和范·德·瓦尔登等首先在代数几何研究中引进了交换代数的方法。在此基础上，韦伊在40年代利用抽象代数的方法建立了抽象域上的代数几何理论，然后20世纪50年代中期，法国数学家塞尔把代数簇的理论建立在层的概念上，并建立了凝聚层的上同调理论，这个为格罗腾迪克随后建立概型理论奠定了基础。概型理论的建立使代数几何的研究进入了一个全新的阶段。

作用

代数几何学

　　代数几何学中要证明的定理多半是纯几何的，在论证中虽然使用坐标法，但是采用坐标法多建立在射影坐标系的基础上。 在解析几何中，主要是研究一次曲线和曲面、二次曲线和曲面。而在代数几何中主要是研究三次、四次的曲线和曲面以及它们的分类，继而过渡到研究任意的代数流形。

　　代数几何与数学的许多分支学科有着广泛的联系，如数论、解析几何、微分几何、交换代数、代数群、拓扑学等。代数几何的发展和这些学科的发展起着相互促进的作用。同时，作为一门理论学科，代数几何的应用前景也开始受到人们的注意，其中的一个显著的例子是代数几何在控制论中的应用。

　　人们在现代粒子物理的最新的超弦理论中已广泛应用代数几何工具，这预示着抽象的代数几何学将对现代物理学的发展发挥重要的作用。

分支学科

　　算术、初等代数、高等代数、数论、欧式几何、非欧几何、解析几何、微分几何、射影几何学、拓扑学、分形几何、微积分学、实变函数论、概率和数理统计、复变函数论、泛函分析、偏微分方程、常微分方程、数理逻辑、模糊数学、运筹学、计算数学、突变理论、数学物理学